Найдём производную: производная \cos x равна -\sin x.

y' = -10\sin x + 14.

Оценим производную: синус всегда лежит между -1 и 1, поэтому -10\sin x \ge -10 \gt -14, и производная положительна на всём отрезке.

Значит, функция монотонно возрастает на \left[0;\ \dfrac{3\pi}{2}\right], и наименьшее значение достигается на левом конце отрезка, в точке x = 0.

Подставляем:

y(0) = 10\cos 0 + 14 \cdot 0 + 9 = 10 + 9 = 19.

Наименьшее значение функции равно 19.