Исследование… — Задание ЕГЭ по математике №00004455

Исследуем функцию через производную — она показывает, где функция растёт, а где убывает.

Область определения: корень (степень $\dfrac{3}{2}$) существует при $x \ge 0$.

Производная степенной функции: показатель выносится вперёд и уменьшается на единицу.

$$y' = \dfrac{3}{2}x^{\frac{1}{2}} - 21 = \dfrac{3}{2}\sqrt{x} - 21.$$

Нуль производной:

$$\dfrac{3}{2}\sqrt{x} = 21 \quad\Rightarrow\quad \sqrt{x} = 14 \quad\Rightarrow\quad x = 196.$$

Знак производной: $\sqrt{x}$ растёт, поэтому при $x \lt 196$ производная отрицательна (функция убывает), при $x \gt 196$ — положительна (растёт).

Убывание сменяется ростом — точка минимума.

$$x_{\min} = 196.$$