ID: 00004455
Найдите точку минимума функции $y = x^{\dfrac{3}{2}} - 21 \cdot x + 11$.
Источник: ФИПИ
Исследуем функцию через производную — она показывает, где функция растёт, а где убывает.
Область определения: корень (степень $\dfrac{3}{2}$) существует при $x \ge 0$.
Производная степенной функции: показатель выносится вперёд и уменьшается на единицу.
$$y' = \dfrac{3}{2}x^{\frac{1}{2}} - 21 = \dfrac{3}{2}\sqrt{x} - 21.$$
Нуль производной:
$$\dfrac{3}{2}\sqrt{x} = 21 \quad\Rightarrow\quad \sqrt{x} = 14 \quad\Rightarrow\quad x = 196.$$
Знак производной: $\sqrt{x}$ растёт, поэтому при $x \lt 196$ производная отрицательна (функция убывает), при $x \gt 196$ — положительна (растёт).
Убывание сменяется ростом — точка минимума.
$$x_{\min} = 196.$$