ID: 00004454
Найдите точку минимума функции $y = x^2 - 28x + 96\ln x + 31$.
Источник: ФИПИ
Исследуем функцию через производную — она показывает, где функция растёт, а где убывает.
Область определения: из-за логарифма $x \gt 0$.
Производная (производная $\ln x$ равна $\dfrac{1}{x}$):
$$y' = 2x - 28 + \dfrac{96}{x} = \dfrac{2x^2 - 28x + 96}{x} = \dfrac{2(x - 6)(x - 8)}{x}.$$
Нули производной: $x = 6$ и $x = 8$ (оба в области определения).
Знаки при $x \gt 0$: до $6$ оба множителя отрицательны — произведение положительно, функция растёт; между $6$ и $8$ производная отрицательна — функция убывает; после $8$ — снова растёт.
Убывание сменяется ростом в точке $x = 8$ — это точка минимума.
$$x_{\min} = 8.$$
А в точке $x = 6$, где рост сменяется убыванием, — точка максимума: не перепутайте.