Исследование… — Задание ЕГЭ по математике №00004454

Исследуем функцию через производную — она показывает, где функция растёт, а где убывает.

Область определения: из-за логарифма $x \gt 0$.

Производная (производная $\ln x$ равна $\dfrac{1}{x}$):

$$y' = 2x - 28 + \dfrac{96}{x} = \dfrac{2x^2 - 28x + 96}{x} = \dfrac{2(x - 6)(x - 8)}{x}.$$

Нули производной: $x = 6$ и $x = 8$ (оба в области определения).

Знаки при $x \gt 0$: до $6$ оба множителя отрицательны — произведение положительно, функция растёт; между $6$ и $8$ производная отрицательна — функция убывает; после $8$ — снова растёт.

Убывание сменяется ростом в точке $x = 8$ — это точка минимума.

$$x_{\min} = 8.$$

А в точке $x = 6$, где рост сменяется убыванием, — точка максимума: не перепутайте.