Логарифмичес… — Задание 16 ЕГЭ по математике №00004429

Под логарифмами стоят $4-x$ и его квадрат, а основания $512$ и $2$ легко связать ($512=2^{9}$). Приведём к основанию $2$ и вынесем общий логарифм. Знак строгий.

Заметим, что $x^{2}-8x+16=(x-4)^{2}=(4-x)^{2}$. Область определения: $4-x\gt 0$, то есть $x\lt 4$.

Преобразуем: $\log_{512}(4-x)=\dfrac19\log_2(4-x)$, а $\log_2\big((4-x)^{2}\big)=2\log_2(4-x)$. Умножим неравенство на $9$ и перенесём всё влево, вынося $\log_2(4-x)$:

$$(x^{2}-18)\,\log_2(4-x)\gt 0.$$

Разберём знаки множителей на области $x\lt 4$. Логарифм $\log_2(4-x)$: положителен при $4-x\gt 1$, то есть $x\lt 3$; равен нулю при $x=3$; отрицателен при $3\lt x\lt 4$. Скобка $x^{2}-18$: положительна при $x\lt -3\sqrt2$ (на нашей области), отрицательна при $-3\sqrt2\lt x\lt 4$.

Произведение положительно, когда множители одного знака. Оба положительны при $x\lt -3\sqrt2$; оба отрицательны при $3\lt x\lt 4$. Концы выколоты (знак строгий). Итог: $(-\infty;-3\sqrt2)\cup(3;4)$.