Неравенства… — Задание 16 ЕГЭ по математике №00004427

Второй логарифм имеет переменное основание $(x+4)^{2}$. Сведём всё к одной букве $p=\log_7(x+4)$ — и получится привычное дробное неравенство.

Область определения: $x+4\gt 0$ (то есть $x\gt -4$), основание $(x+4)^{2}\ne 1$ выкалывает $x=-3$ и $x=-5$. Внутри $x\gt -4$ это значит $x\ne -3$.

Перепишем через $p=\log_7(x+4)$. Первый логарифм: $\log_{49}(x+4)=\dfrac12\log_7(x+4)=\dfrac{p}{2}$ (ведь $49=7^{2}$). Второй: $\log_{(x+4)^{2}}\sqrt7=\dfrac{\log_7\sqrt7}{\log_7(x+4)^{2}}=\dfrac{1/2}{2p}=\dfrac{1}{4p}$.

Неравенство $\dfrac{p}{2}+\dfrac{1}{4p}\leqslant -\dfrac34$ умножим на $4$ и соберём в одну дробь:

$$2p+\dfrac{1}{p}+3\leqslant 0,\qquad \dfrac{2p^{2}+3p+1}{p}\leqslant 0,\qquad \dfrac{(2p+1)(p+1)}{p}\leqslant 0.$$

Методом интервалов ($p=0$ выколота): $p\leqslant -1$ или $-\dfrac12\leqslant p\lt 0$.

Возвращаемся через $x+4=7^{p}$. Из $p\leqslant -1$: $x+4\leqslant 7^{-1}=\dfrac17$, то есть $-4\lt x\leqslant -\dfrac{27}{7}$. Из $-\dfrac12\leqslant p\lt 0$: $\dfrac{1}{\sqrt7}\leqslant x+4\lt 1$, то есть $-4+\dfrac{1}{\sqrt7}\leqslant x\lt -3$. Итог: $\left(-4;-\dfrac{27}{7}\right]\cup\left[-4+\dfrac{1}{\sqrt7};-3\right)$.