Справа стоит \dfrac{1}{\log_{x^{2}}(x-2)}. Применим правило «единица делить на логарифм — это логарифм с перевёрнутым основанием»: \dfrac{1}{\log_{x^{2}}(x-2)}=\log_{x-2}(x^{2}). Тогда слева и справа окажутся логарифмы с одним основанием x-2.

Область определения: основание x-2\gt 0 и \ne 1 (то есть x\gt 2, x\ne 3); аргументы x+3 и x^{2} положительны. Итого x\gt 2, x\ne 3.

Неравенство стало \log_{x-2}(x+3)\geqslant \log_{x-2}(x^{2}). Основание x-2 может быть и больше, и меньше единицы — поэтому два случая.

Случай 2\lt x\lt 3: основание 0\lt x-2\lt 1, логарифм убывает, поэтому при переходе к аргументам знак переворачивается: x+3\leqslant x^{2}, то есть x^{2}-x-3\geqslant 0, откуда x\geqslant \dfrac{1+\sqrt{13}}{2}\approx 2{,}30. Пересечение с 2\lt x\lt 3 даёт \left[\dfrac{1+\sqrt{13}}{2};3\right).

Случай x\gt 3: основание x-2\gt 1, логарифм возрастает, знак сохраняется: x+3\geqslant x^{2}, то есть x^{2}-x-3\leqslant 0, откуда x\leqslant \dfrac{1+\sqrt{13}}{2}\approx 2{,}30. Это противоречит x\gt 3 — решений нет.

Итог — только первый случай: \left[\dfrac{1+\sqrt{13}}{2};3\right).