Неравенства… — Задание 15 ЕГЭ по математике №00004426

Справа стоит $\dfrac{1}{\log_{x^{2}}(x-2)}$. Применим правило «единица делить на логарифм — это логарифм с перевёрнутым основанием»: $\dfrac{1}{\log_{x^{2}}(x-2)}=\log_{x-2}(x^{2})$. Тогда слева и справа окажутся логарифмы с одним основанием $x-2$.

Область определения: основание $x-2\gt 0$ и $\ne 1$ (то есть $x\gt 2$, $x\ne 3$); аргументы $x+3$ и $x^{2}$ положительны. Итого $x\gt 2$, $x\ne 3$.

Неравенство стало $\log_{x-2}(x+3)\geqslant \log_{x-2}(x^{2})$. Основание $x-2$ может быть и больше, и меньше единицы — поэтому два случая.

Случай $2\lt x\lt 3$: основание $0\lt x-2\lt 1$, логарифм убывает, поэтому при переходе к аргументам знак переворачивается: $x+3\leqslant x^{2}$, то есть $x^{2}-x-3\geqslant 0$, откуда $x\geqslant \dfrac{1+\sqrt{13}}{2}\approx 2{,}30$. Пересечение с $2\lt x\lt 3$ даёт $\left[\dfrac{1+\sqrt{13}}{2};3\right)$.

Случай $x\gt 3$: основание $x-2\gt 1$, логарифм возрастает, знак сохраняется: $x+3\geqslant x^{2}$, то есть $x^{2}-x-3\leqslant 0$, откуда $x\leqslant \dfrac{1+\sqrt{13}}{2}\approx 2{,}30$. Это противоречит $x\gt 3$ — решений нет.

Итог — только первый случай: $\left[\dfrac{1+\sqrt{13}}{2};3\right)$.