Неравенства… — Задание 15 ЕГЭ по математике №00004425

Здесь логарифм, у которого основание тоже зависит от $x$ (это $x^{2}$). У такого логарифма знак подсказывает простое правило: логарифм положителен, когда основание и аргумент «по одну сторону» от единицы.

Область определения: основание $x^{2}\gt 0$ и $x^{2}\ne 1$, то есть $x\ne 0$ и $x\ne\pm 1$. Аргумент $x^{2}+1\gt 0$ всегда.

Главное наблюдение: $x^{2}+1\gt 1$ при любом $x$ (это число строго больше единицы). Логарифм числа, большего единицы, положителен ровно тогда, когда и основание больше единицы. Значит условие сводится к:

$$x^{2}\gt 1.$$

Поясним, почему так. Если $0\lt x^{2}\lt 1$ (основание меньше единицы), то логарифм числа $\gt 1$ был бы отрицательным — это нам не подходит. А при $x^{2}\gt 1$ всё хорошо: и основание, и аргумент больше единицы, логарифм положителен.

Решая $x^{2}\gt 1$, получаем $x\lt -1$ или $x\gt 1$. Итог: $(-\infty;-1)\cup(1;+\infty)$.