Здесь логарифм, у которого основание тоже зависит от x (это x^{2}). У такого логарифма знак подсказывает простое правило: логарифм положителен, когда основание и аргумент «по одну сторону» от единицы.

Область определения: основание x^{2}\gt 0 и x^{2}\ne 1, то есть x\ne 0 и x\ne\pm 1. Аргумент x^{2}+1\gt 0 всегда.

Главное наблюдение: x^{2}+1\gt 1 при любом x (это число строго больше единицы). Логарифм числа, большего единицы, положителен ровно тогда, когда и основание больше единицы. Значит условие сводится к:

x^{2}\gt 1.

Поясним, почему так. Если 0\lt x^{2}\lt 1 (основание меньше единицы), то логарифм числа \gt 1 был бы отрицательным — это нам не подходит. А при x^{2}\gt 1 всё хорошо: и основание, и аргумент больше единицы, логарифм положителен.

Решая x^{2}\gt 1, получаем x\lt -1 или x\gt 1. Итог: (-\infty;-1)\cup(1;+\infty).