Решите неравенство log по основанию 2 левая круглая скобка 4x в квадрате минус 1 правая круглая скобка минус log по основанию 2 x меньше log по основанию 2 левая круглая скобка 5x плюс дробь: числитель: 9, знаменатель: x конец дроби минус 11 правая круглая скобка

левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ; 1 правая круглая скобка объединение левая круглая скобка 10; плюс бесконечность правая круглая скобка

Задание 15 ЕГЭ по математике: Решите неравенство log по основанию 2 левая круглая скобка 4x в…

№2. Задание 15

ID: 00004424

Решите неравенство $\log_2(4x^2 - 1) - \log_2 x < \log_2\left(5x + \dfrac{9}{x} - 11\right)$

Источник: ФИПИ

Решение

Слева — разность логарифмов с основанием $2$ . Свернём её в один логарифм и сравним аргументы; получится квадратное неравенство. Знак строгий ( $\lt$ ).

Область определения: $4x^{2}-1\gt 0$ (то есть $|x|\gt \tfrac12$ ), $x\gt 0$ (из $\log_2 x$ ) и $5x+\dfrac9x-11\gt 0$ . Базовое условие, объединяющее главное, — $x\gt \dfrac12$ (правый аргумент проверим в конце).

Слева: $\log_2(4x^{2}-1)-\log_2 x=\log_2\dfrac{4x^{2}-1}{x}$ . Основание $2\gt 1$ , переходим к аргументам:

$\dfrac{4x^{2}-1}{x}\lt 5x+\dfrac9x-11.$

Умножим на $x\gt 0$ : $4x^{2}-1\lt 5x^{2}+9-11x$ . Перенесём всё вправо:

$0\lt x^{2}-11x+10,\qquad 0\lt (x-1)(x-10).$

Отсюда $x\lt 1$ или $x\gt 10$ . Пересекаем с $x\gt \dfrac12$ : получаем $\left(\dfrac12;1\right)\cup(10;+\infty)$ . На этих промежутках условие $5x+\tfrac9x-11\gt 0$ выполнено, так что ответ: $\left(\dfrac12;1\right)\cup(10;+\infty)$ .

Ответ

$(\frac{1}{2}; 1) \cup (10; +\infty)$