Неравенства… — Задание 16 ЕГЭ по математике №00004424

Слева — разность логарифмов с основанием $2$. Свернём её в один логарифм и сравним аргументы; получится квадратное неравенство. Знак строгий ($\lt$).

Область определения: $4x^{2}-1\gt 0$ (то есть $|x|\gt \tfrac12$), $x\gt 0$ (из $\log_2 x$) и $5x+\dfrac9x-11\gt 0$. Базовое условие, объединяющее главное, — $x\gt \dfrac12$ (правый аргумент проверим в конце).

Слева: $\log_2(4x^{2}-1)-\log_2 x=\log_2\dfrac{4x^{2}-1}{x}$. Основание $2\gt 1$, переходим к аргументам:

$$\dfrac{4x^{2}-1}{x}\lt 5x+\dfrac9x-11.$$

Умножим на $x\gt 0$: $4x^{2}-1\lt 5x^{2}+9-11x$. Перенесём всё вправо:

$$0\lt x^{2}-11x+10,\qquad 0\lt (x-1)(x-10).$$

Отсюда $x\lt 1$ или $x\gt 10$. Пересекаем с $x\gt \dfrac12$: получаем $\left(\dfrac12;1\right)\cup(10;+\infty)$. На этих промежутках условие $5x+\tfrac9x-11\gt 0$ выполнено, так что ответ: $\left(\dfrac12;1\right)\cup(10;+\infty)$.