Логарифмичес… — Задание 15 ЕГЭ по математике №00004423

Та же идея: знаменатель сворачивается в полный квадрат, а значит неотрицателен и на знак дроби почти не влияет (лишь обнуляет её в особых точках). Главное — числитель.

Область определения: $2-x\gt 0$ и $x+1\gt 0$ дают $-1\lt x\lt 2$; а $\log_2 x^{2}$ требует $x\ne 0$. Итого $-1\lt x\lt 2$, $x\ne 0$.

Знаменатель: обозначим $w=\log_2 x^{2}$. Тогда $\log_2^{2}x^{2}+\log_2 x^{4}+1=w^{2}+2w+1=(w+1)^{2}$. Он равен нулю при $\log_2 x^{2}=-1$, то есть $x^{2}=\tfrac12$, то есть $x=\pm\dfrac{\sqrt2}{2}$ — эти точки выколем (там дроби нет).

Числитель: $\log_2(2-x)-\log_2(x+1)=\log_2\dfrac{2-x}{x+1}$. Неравенство сводится к $\log_2\dfrac{2-x}{x+1}\geqslant 0$, то есть:

$$\dfrac{2-x}{x+1}\geqslant 1.$$

На ОДЗ $x+1\gt 0$, поэтому можно умножить на $x+1$ без смены знака: $2-x\geqslant x+1$, откуда $x\leqslant \dfrac12$.

Пересекаем $x\leqslant \dfrac12$ с ОДЗ и выкалываем $x=0$ и $x=-\dfrac{\sqrt2}{2}$. Получаем $\left(-1;-\dfrac{\sqrt2}{2}\right)\cup\left(-\dfrac{\sqrt2}{2};0\right)\cup\left(0;\dfrac12\right]$.