Та же идея: знаменатель сворачивается в полный квадрат, а значит неотрицателен и на знак дроби почти не влияет (лишь обнуляет её в особых точках). Главное — числитель.

Область определения: 2-x\gt 0 и x+1\gt 0 дают -1\lt x\lt 2; а \log_2 x^{2} требует x\ne 0. Итого -1\lt x\lt 2, x\ne 0.

Знаменатель: обозначим w=\log_2 x^{2}. Тогда \log_2^{2}x^{2}+\log_2 x^{4}+1=w^{2}+2w+1=(w+1)^{2}. Он равен нулю при \log_2 x^{2}=-1, то есть x^{2}=\tfrac12, то есть x=\pm\dfrac{\sqrt2}{2} — эти точки выколем (там дроби нет).

Числитель: \log_2(2-x)-\log_2(x+1)=\log_2\dfrac{2-x}{x+1}. Неравенство сводится к \log_2\dfrac{2-x}{x+1}\geqslant 0, то есть:

\dfrac{2-x}{x+1}\geqslant 1.

На ОДЗ x+1\gt 0, поэтому можно умножить на x+1 без смены знака: 2-x\geqslant x+1, откуда x\leqslant \dfrac12.

Пересекаем x\leqslant \dfrac12 с ОДЗ и выкалываем x=0 и x=-\dfrac{\sqrt2}{2}. Получаем \left(-1;-\dfrac{\sqrt2}{2}\right)\cup\left(-\dfrac{\sqrt2}{2};0\right)\cup\left(0;\dfrac12\right].