Логарифмичес… — Задание 16 ЕГЭ по математике №00004422

Хитрость этой задачи в знаменателе. Заметим, что $\log_6^{2}(\dots)+1$ — это «что-то в квадрате плюс единица», а такое всегда не меньше $1$, значит положительно. Положительный знаменатель на знак дроби не влияет: всё решает числитель.

Область определения: $\log_2 x^{2}$ и $\log_3 x^{2}$ требуют $x\ne 0$; под $\log_6$ должно быть положительное число: $2x^{2}-10x+12{,}5=2(x-2{,}5)^{2}\gt 0$, то есть $x\ne 2{,}5$.

Итак, неравенство равносильно $\log_2 x^{2}-\log_3 x^{2}\gt 0$. Запишем оба логарифма через натуральный: $\log_2 x^{2}-\log_3 x^{2}=\ln x^{2}\left(\dfrac{1}{\ln 2}-\dfrac{1}{\ln 3}\right)$.

Скобка положительна, потому что $\ln 2\lt \ln 3$ и $\dfrac{1}{\ln 2}\gt \dfrac{1}{\ln 3}$. Значит знак всего выражения совпадает со знаком $\ln x^{2}$:

$$\ln x^{2}\gt 0\;\Leftrightarrow\;x^{2}\gt 1\;\Leftrightarrow\;|x|\gt 1.$$

Значит $x\lt -1$ или $x\gt 1$. Выкалываем из этого точку $x=2{,}5$ (она вне ОДЗ) и получаем $(-\infty;-1)\cup(1;2{,}5)\cup(2{,}5;+\infty)$.