Хитрость этой задачи в знаменателе. Заметим, что \log_6^{2}(\dots)+1 — это «что-то в квадрате плюс единица», а такое всегда не меньше 1, значит положительно. Положительный знаменатель на знак дроби не влияет: всё решает числитель.

Область определения: \log_2 x^{2} и \log_3 x^{2} требуют x\ne 0; под \log_6 должно быть положительное число: 2x^{2}-10x+12{,}5=2(x-2{,}5)^{2}\gt 0, то есть x\ne 2{,}5.

Итак, неравенство равносильно \log_2 x^{2}-\log_3 x^{2}\gt 0. Запишем оба логарифма через натуральный: \log_2 x^{2}-\log_3 x^{2}=\ln x^{2}\left(\dfrac{1}{\ln 2}-\dfrac{1}{\ln 3}\right).

Скобка положительна, потому что \ln 2\lt \ln 3 и \dfrac{1}{\ln 2}\gt \dfrac{1}{\ln 3}. Значит знак всего выражения совпадает со знаком \ln x^{2}:

\ln x^{2}\gt 0\;\Leftrightarrow\;x^{2}\gt 1\;\Leftrightarrow\;|x|\gt 1.

Значит x\lt -1 или x\gt 1. Выкалываем из этого точку x=2{,}5 (она вне ОДЗ) и получаем (-\infty;-1)\cup(1;2{,}5)\cup(2{,}5;+\infty).