Неравенства… — Задание 15 ЕГЭ по математике №00004421

В неравенстве несколько раз встречается $\log_2 x$, а громоздкий знаменатель сворачивается в полный квадрат. Заменим $\log_2 x$ буквой и упростим.

Область определения: $x\gt 0$. Обозначим $u=\log_2 x$. Заметим, что $\log_2(32x^{10})=\log_2 32+10\log_2 x=5+10u$. Тогда знаменатель $\log_2^{2}x-\log_2(32x^{10})+30=u^{2}-(5+10u)+30=u^{2}-10u+25=(u-5)^{2}$.

Сделаем ещё замену $v=u-5$, чтобы знаменатель стал просто $v^{2}$:

$$1+\dfrac{10}{v}+\dfrac{16}{v^{2}}\geqslant 0,\qquad \dfrac{v^{2}+10v+16}{v^{2}}\geqslant 0,\qquad \dfrac{(v+2)(v+8)}{v^{2}}\geqslant 0.$$

Знаменатель $v^{2}\gt 0$ (кроме $v=0$), поэтому знак задаёт числитель: $(v+2)(v+8)\geqslant 0$, откуда $v\leqslant -8$ или $v\geqslant -2$ (и $v\ne 0$).

Возвращаемся: $v=\log_2 x-5$. Из $v\leqslant -8$: $\log_2 x\leqslant -3$, то есть $0\lt x\leqslant \dfrac18$. Из $v\geqslant -2$: $\log_2 x\geqslant 3$, то есть $x\geqslant 8$; условие $v\ne 0$ выкалывает $x=32$. Итог: $\left(0;\dfrac18\right]\cup[8;32)\cup(32;+\infty)$.