Логарифмичес… — Задание 16 ЕГЭ по математике №00004420

Здесь основания логарифмов дробные ($0{,}5$ и $0{,}25$) — это значит, что при переходе к основанию $2$ появятся минусы. А кубический многочлен под логарифмом раскладывается на множители.

Заметим, что $x^{3}-3x^{2}-9x+27=(x-3)^{2}(x+3)$. Область определения: $(x-3)^{2}(x+3)\gt 0$, то есть $x\gt -3$ и $x\ne 3$.

Перейдём к основанию $2$. Так как $0{,}5=2^{-1}$ и $0{,}25=2^{-2}$, получаем $\log_{0,5}y=-\log_2 y$ и $\log_{0,25}y=-\dfrac12\log_2 y$. Значит левая часть $-\log_2\big((x-3)^{2}(x+3)\big)$, а правая $-\dfrac12\log_2(x-3)^{4}=-\log_2(x-3)^{2}$.

Умножим неравенство на $-1$ (знак переворачивается):

$$\log_2\big((x-3)^{2}(x+3)\big)\geqslant \log_2(x-3)^{2}.$$

Переходим к аргументам и делим на $(x-3)^{2}\gt 0$: $x+3\geqslant 1$, то есть $x\geqslant -2$.

Накладываем ОДЗ ($x\gt -3$, $x\ne 3$) и получаем $[-2;3)\cup(3;+\infty)$.