Справа — сумма двух логарифмов с основанием 3. Свернём её в один и сравним аргументы. Сначала, как всегда, область определения.

Под логарифмами всё положительно: (2-x)(x^{2}+5)\gt 0 даёт x\lt 2 (множитель x^{2}+5\gt 0 всегда); x^{2}-5x+6=(x-2)(x-3)\gt 0 даёт x\lt 2 или x\gt 3; 4-x\gt 0 даёт x\lt 4. Пересечение: x\lt 2.

Сворачиваем правую часть: \log_3\big((x^{2}-5x+6)(4-x)\big) и переходим к аргументам:

(2-x)(x^{2}+5)\geqslant (x-2)(x-3)(4-x).

Замечаем: (x-2)(x-3)(4-x)=(2-x)(3-x)(4-x) (поменяли знак в двух скобках, а два минуса дают плюс). При x\lt 2 множитель 2-x\gt 0, делим на него обе части:

x^{2}+5\geqslant (3-x)(4-x),\qquad x^{2}+5\geqslant x^{2}-7x+12.

Слагаемые x^{2} сокращаются, остаётся 7x\geqslant 7, то есть x\geqslant 1. Вместе с ОДЗ x\lt 2 это даёт [1;2).