Логарифмичес… — Задание 16 ЕГЭ по математике №00004419

Справа — сумма двух логарифмов с основанием $3$. Свернём её в один и сравним аргументы. Сначала, как всегда, область определения.

Под логарифмами всё положительно: $(2-x)(x^{2}+5)\gt 0$ даёт $x\lt 2$ (множитель $x^{2}+5\gt 0$ всегда); $x^{2}-5x+6=(x-2)(x-3)\gt 0$ даёт $x\lt 2$ или $x\gt 3$; $4-x\gt 0$ даёт $x\lt 4$. Пересечение: $x\lt 2$.

Сворачиваем правую часть: $\log_3\big((x^{2}-5x+6)(4-x)\big)$ и переходим к аргументам:

$$(2-x)(x^{2}+5)\geqslant (x-2)(x-3)(4-x).$$

Замечаем: $(x-2)(x-3)(4-x)=(2-x)(3-x)(4-x)$ (поменяли знак в двух скобках, а два минуса дают плюс). При $x\lt 2$ множитель $2-x\gt 0$, делим на него обе части:

$$x^{2}+5\geqslant (3-x)(4-x),\qquad x^{2}+5\geqslant x^{2}-7x+12.$$

Слагаемые $x^{2}$ сокращаются, остаётся $7x\geqslant 7$, то есть $x\geqslant 1$. Вместе с ОДЗ $x\lt 2$ это даёт $[1;2)$.