ID: 00004418
Решить неравенство $\log_{11} (8x^2 + 7) - \log_{11} (x^2 + x + 1) \geqslant \log_{11} \left(\dfrac{x}{x + 5} + 7\right)$.
Источник: ФИПИ
Слева — разность логарифмов с основанием $11$. Свернём её в один логарифм и сравним аргументы. Самое аккуратное место здесь — область определения у третьего логарифма.
Выражения $8x^{2}+7$ и $x^{2}+x+1$ положительны при любом $x$ (у второго дискриминант отрицателен). А вот $\dfrac{x}{x+5}+7=\dfrac{8x+35}{x+5}\gt 0$ требует $x\lt -5$ или $x\gt -\dfrac{35}{8}$. Это и есть ОДЗ.
Сворачиваем левую часть и переходим к сравнению аргументов (основание $11\gt 1$):
$$\dfrac{8x^{2}+7}{x^{2}+x+1}\geqslant \dfrac{8x+35}{x+5}.$$
Перенесём всё влево, общий знаменатель $(x^{2}+x+1)(x+5)$. После раскрытия скобок числитель упрощается до $-3x(x+12)$:
$$\dfrac{-3x(x+12)}{(x^{2}+x+1)(x+5)}\geqslant 0.$$
Множитель $x^{2}+x+1\gt 0$ убираем, а на $-3$ делим со сменой знака. Остаётся $\dfrac{x(x+12)}{x+5}\leqslant 0$. Нули $x=0$, $x=-12$ входят, точка $x=-5$ выколота.
Решая $\dfrac{x(x+12)}{x+5}\leqslant 0$ и пересекая с ОДЗ, получаем $(-\infty;-12]\cup\left(-\dfrac{35}{8};0\right]$.
$(-\infty; -12] \cup (-\dfrac{35}{8}; 0]$