Решить неравенство log по основанию 11 левая круглая скобка 8x в квадрате плюс 7 правая круглая скобка минус log по основанию 11 левая круглая скобка x в квадрате плюс x плюс 1 правая круглая скобка log по основанию 11 левая круглая скобка дробь: числитель: x, знаменатель: x плюс 5 конец дроби плюс 7 правая круглая скобка .

левая круглая скобка минус бесконечность; минус 12 правая квадратная скобка объединение левая круглая скобка минус дробь: числитель: 35, знаменатель: 8 конец дроби ; 0 правая квадратная скобка

Задание 15 ЕГЭ по математике: Решить неравенство log по основанию 11 левая круглая скобка 8x в…

№2. Задание 15

ID: 00004418

Решить неравенство $\log_{11} (8x^2 + 7) - \log_{11} (x^2 + x + 1) \geqslant \log_{11} \left(\dfrac{x}{x + 5} + 7\right)$ .

Источник: ФИПИ

Решение

Слева — разность логарифмов с основанием $11$ . Свернём её в один логарифм и сравним аргументы. Самое аккуратное место здесь — область определения у третьего логарифма.

Выражения $8x^{2}+7$ и $x^{2}+x+1$ положительны при любом $x$ (у второго дискриминант отрицателен). А вот $\dfrac{x}{x+5}+7=\dfrac{8x+35}{x+5}\gt 0$ требует $x\lt -5$ или $x\gt -\dfrac{35}{8}$ . Это и есть ОДЗ.

Сворачиваем левую часть и переходим к сравнению аргументов (основание $11\gt 1$ ):

$\dfrac{8x^{2}+7}{x^{2}+x+1}\geqslant \dfrac{8x+35}{x+5}.$

Перенесём всё влево, общий знаменатель $(x^{2}+x+1)(x+5)$ . После раскрытия скобок числитель упрощается до $-3x(x+12)$ :

$\dfrac{-3x(x+12)}{(x^{2}+x+1)(x+5)}\geqslant 0.$

Множитель $x^{2}+x+1\gt 0$ убираем, а на $-3$ делим со сменой знака. Остаётся $\dfrac{x(x+12)}{x+5}\leqslant 0$ . Нули $x=0$ , $x=-12$ входят, точка $x=-5$ выколота.

Решая $\dfrac{x(x+12)}{x+5}\leqslant 0$ и пересекая с ОДЗ, получаем $(-\infty;-12]\cup\left(-\dfrac{35}{8};0\right]$ .

Ответ

$(-\infty; -12] \cup (-\dfrac{35}{8}; 0]$