Неравенства… — Задание 16 ЕГЭ по математике №00004418

Слева — разность логарифмов с основанием $11$. Свернём её в один логарифм и сравним аргументы. Самое аккуратное место здесь — область определения у третьего логарифма.

Выражения $8x^{2}+7$ и $x^{2}+x+1$ положительны при любом $x$ (у второго дискриминант отрицателен). А вот $\dfrac{x}{x+5}+7=\dfrac{8x+35}{x+5}\gt 0$ требует $x\lt -5$ или $x\gt -\dfrac{35}{8}$. Это и есть ОДЗ.

Сворачиваем левую часть и переходим к сравнению аргументов (основание $11\gt 1$):

$$\dfrac{8x^{2}+7}{x^{2}+x+1}\geqslant \dfrac{8x+35}{x+5}.$$

Перенесём всё влево, общий знаменатель $(x^{2}+x+1)(x+5)$. После раскрытия скобок числитель упрощается до $-3x(x+12)$:

$$\dfrac{-3x(x+12)}{(x^{2}+x+1)(x+5)}\geqslant 0.$$

Множитель $x^{2}+x+1\gt 0$ убираем, а на $-3$ делим со сменой знака. Остаётся $\dfrac{x(x+12)}{x+5}\leqslant 0$. Нули $x=0$, $x=-12$ входят, точка $x=-5$ выколота.

Решая $\dfrac{x(x+12)}{x+5}\leqslant 0$ и пересекая с ОДЗ, получаем $(-\infty;-12]\cup\left(-\dfrac{35}{8};0\right]$.