Логарифмичес… — Задание 16 ЕГЭ по математике №00004417

Под логарифмом везде $x^{2}-16$, логарифм в квадрате — заменим его буквой и решим квадратное неравенство.

Область определения: $x^{2}-16\gt 0$, то есть $x\lt -4$ или $x\gt 4$.

Пусть $u=\log_3(x^{2}-16)$:

$$u^{2}-5u+6\geqslant 0,\qquad (u-2)(u-3)\geqslant 0,$$

откуда $u\leqslant 2$ или $u\geqslant 3$.

Случай $u\leqslant 2$: $0\lt x^{2}-16\leqslant 9$, то есть $16\lt x^{2}\leqslant 25$. С учётом ОДЗ это $-5\leqslant x\lt -4$ или $4\lt x\leqslant 5$.

Случай $u\geqslant 3$: $x^{2}-16\geqslant 27$, то есть $x^{2}\geqslant 43$. Это $x\leqslant -\sqrt{43}$ или $x\geqslant\sqrt{43}$ (в точках $\pm\sqrt{43}$ выполнено равенство $u=3$, поэтому они входят).

Объединяя оба случая, получаем четыре промежутка.