Под логарифмом везде x^{2}-16, логарифм в квадрате — заменим его буквой и решим квадратное неравенство.

Область определения: x^{2}-16\gt 0, то есть x\lt -4 или x\gt 4.

Пусть u=\log_3(x^{2}-16):

u^{2}-5u+6\geqslant 0,\qquad (u-2)(u-3)\geqslant 0,

откуда u\leqslant 2 или u\geqslant 3.

Случай u\leqslant 2: 0\lt x^{2}-16\leqslant 9, то есть 16\lt x^{2}\leqslant 25. С учётом ОДЗ это -5\leqslant x\lt -4 или 4\lt x\leqslant 5.

Случай u\geqslant 3: x^{2}-16\geqslant 27, то есть x^{2}\geqslant 43. Это x\leqslant -\sqrt{43} или x\geqslant\sqrt{43} (в точках \pm\sqrt{43} выполнено равенство u=3, поэтому они входят).

Объединяя оба случая, получаем четыре промежутка.