Всюду стоит \log_5 x — заменим его буквой u и сведём к дробному неравенству. Слева привычная пара «дробь и обратная к ней».

Область определения: под логарифмом x, поэтому x\gt 0. Используем \log_5(25x)=\log_5 25+\log_5 x=2+u и \log_5 x^{4}=4u.

Левую часть приведём к общему знаменателю (u-2)(u+2): числитель (2+u)^{2}+(u-2)^{2}=2u^{2}+8. Справа: \dfrac{6-4u}{(u-2)(u+2)}. Знаменатели одинаковые; перенесём правую дробь влево:

\dfrac{2u^{2}+8-6+4u}{(u-2)(u+2)}\geqslant 0,\qquad \dfrac{2u^{2}+4u+2}{(u-2)(u+2)}\geqslant 0.

Числитель сворачивается в полный квадрат: 2u^{2}+4u+2=2(u+1)^{2}. Значит:

\dfrac{(u+1)^{2}}{(u-2)(u+2)}\geqslant 0.

Числитель \geqslant 0 и равен нулю при u=-1. Поэтому дробь неотрицательна в точке u=-1 и там, где знаменатель положителен: u\lt -2 или u\gt 2.

Возвращаемся к x: u\lt -2 даёт 0\lt x\lt \dfrac1{25}; u=-1 даёт x=\dfrac15; u\gt 2 даёт x\gt 25. Итог: \left(0;\dfrac1{25}\right)\cup\left\{\dfrac15\right\}\cup(25;+\infty).