Неравенства… — Задание 15 ЕГЭ по математике №00004416

Всюду стоит $\log_5 x$ — заменим его буквой $u$ и сведём к дробному неравенству. Слева привычная пара «дробь и обратная к ней».

Область определения: под логарифмом $x$, поэтому $x\gt 0$. Используем $\log_5(25x)=\log_5 25+\log_5 x=2+u$ и $\log_5 x^{4}=4u$.

Левую часть приведём к общему знаменателю $(u-2)(u+2)$: числитель $(2+u)^{2}+(u-2)^{2}=2u^{2}+8$. Справа: $\dfrac{6-4u}{(u-2)(u+2)}$. Знаменатели одинаковые; перенесём правую дробь влево:

$$\dfrac{2u^{2}+8-6+4u}{(u-2)(u+2)}\geqslant 0,\qquad \dfrac{2u^{2}+4u+2}{(u-2)(u+2)}\geqslant 0.$$

Числитель сворачивается в полный квадрат: $2u^{2}+4u+2=2(u+1)^{2}$. Значит:

$$\dfrac{(u+1)^{2}}{(u-2)(u+2)}\geqslant 0.$$

Числитель $\geqslant 0$ и равен нулю при $u=-1$. Поэтому дробь неотрицательна в точке $u=-1$ и там, где знаменатель положителен: $u\lt -2$ или $u\gt 2$.

Возвращаемся к $x$: $u\lt -2$ даёт $0\lt x\lt \dfrac1{25}$; $u=-1$ даёт $x=\dfrac15$; $u\gt 2$ даёт $x\gt 25$. Итог: $\left(0;\dfrac1{25}\right)\cup\left\{\dfrac15\right\}\cup(25;+\infty)$.