Всюду стоит \log_4 x — заменим его буквой u. Неравенство строгое, это пригодится в конце.

Область определения: x\gt 0. Используем \log_4(64x)=\log_4 64+\log_4 x=3+u и \log_4 x^{4}=4u, где u=\log_4 x. Левую часть (дробь плюс обратная к ней) приводим к знаменателю (u-3)(u+3): числитель (3+u)^{2}+(u-3)^{2}=2u^{2}+18. Правая часть: \dfrac{4u+16}{u^{2}-9}.

Знаменатели одинаковые; перенесём правую дробь влево:

\dfrac{2u^{2}+18-4u-16}{(u-3)(u+3)}\gt 0,\qquad \dfrac{2u^{2}-4u+2}{(u-3)(u+3)}\gt 0.

Числитель сворачивается в полный квадрат: 2u^{2}-4u+2=2(u-1)^{2}. Получаем:

\dfrac{(u-1)^{2}}{(u-3)(u+3)}\gt 0.

Числитель \gt 0 при u\ne 1 (а при u=1 дробь равна нулю — строгому знаку не подходит). Значит нужно (u-3)(u+3)\gt 0, то есть u\lt -3 или u\gt 3.

Возвращаемся к x: u\lt -3 даёт 0\lt x\lt \dfrac1{64}; u\gt 3 даёт x\gt 64. Итог: \left(0;\dfrac1{64}\right)\cup(64;+\infty).