Неравенства… — Задание 15 ЕГЭ по математике №00004415

Всюду стоит $\log_4 x$ — заменим его буквой $u$. Неравенство строгое, это пригодится в конце.

Область определения: $x\gt 0$. Используем $\log_4(64x)=\log_4 64+\log_4 x=3+u$ и $\log_4 x^{4}=4u$, где $u=\log_4 x$. Левую часть (дробь плюс обратная к ней) приводим к знаменателю $(u-3)(u+3)$: числитель $(3+u)^{2}+(u-3)^{2}=2u^{2}+18$. Правая часть: $\dfrac{4u+16}{u^{2}-9}$.

Знаменатели одинаковые; перенесём правую дробь влево:

$$\dfrac{2u^{2}+18-4u-16}{(u-3)(u+3)}\gt 0,\qquad \dfrac{2u^{2}-4u+2}{(u-3)(u+3)}\gt 0.$$

Числитель сворачивается в полный квадрат: $2u^{2}-4u+2=2(u-1)^{2}$. Получаем:

$$\dfrac{(u-1)^{2}}{(u-3)(u+3)}\gt 0.$$

Числитель $\gt 0$ при $u\ne 1$ (а при $u=1$ дробь равна нулю — строгому знаку не подходит). Значит нужно $(u-3)(u+3)\gt 0$, то есть $u\lt -3$ или $u\gt 3$.

Возвращаемся к $x$: $u\lt -3$ даёт $0\lt x\lt \dfrac1{64}$; $u\gt 3$ даёт $x\gt 64$. Итог: $\left(0;\dfrac1{64}\right)\cup(64;+\infty)$.