Неравенства… — Задание 15 ЕГЭ по математике №00004414

Слева — несколько логарифмов с основанием $2$. Свернём их в один, сравним аргументы — и получим кубическое неравенство.

Область определения: $x\sqrt5\gt 0$ (то есть $x\gt 0$) и $\dfrac{x}{1-x}\gt 0$ (то есть $0\lt x\lt 1$). Вместе: $0\lt x\lt 1$.

Заметим, что $2\log_2(x\sqrt5)=\log_2(5x^{2})$. Тогда левая часть $\log_2(5x^{2})-\log_2\dfrac{x}{1-x}=\log_2\dfrac{5x^{2}(1-x)}{x}=\log_2\big(5x(1-x)\big)$. Основание $2\gt 1$, переходим к сравнению аргументов:

$$5x(1-x)\lt 5x^{2}+\dfrac1x-2.$$

Умножим обе части на $x\gt 0$ и перенесём всё вправо:

$$10x^{3}-5x^{2}-2x+1\gt 0.$$

Разложим левую часть группировкой: $10x^{3}-5x^{2}-2x+1=5x^{2}(2x-1)-(2x-1)=(2x-1)(5x^{2}-1)$. Корни: $x=\dfrac12$ и $x=\dfrac1{\sqrt5}=\dfrac{\sqrt5}{5}$ (корень $-\tfrac1{\sqrt5}$ вне ОДЗ).

На отрезке $0\lt x\lt 1$ методом интервалов получаем, что произведение положительно на $\left(0;\dfrac{\sqrt5}{5}\right)$ и на $\left(\dfrac12;1\right)$. Итог: $\left(0;\dfrac{\sqrt5}{5}\right)\cup\left(\dfrac12;1\right)$.