Неравенства… — Задание 16 ЕГЭ по математике №00004413

В неравенстве несколько раз встречается $\log_2 x$ — заменим его буквой $u$ и сведём к дробному неравенству.

Область определения: под логарифмом $x$, значит $x\gt 0$. При $x\gt 0$ верно $\log_2(4x^{2})=\log_2 4+\log_2 x^{2}=2+2\log_2 x$. Обозначим $u=\log_2 x$: числитель равен $2u+37$, знаменатель $u^{2}-36$.

Перенесём $-1$ влево, чтобы сравнивать с нулём:

$$\dfrac{2u+37}{u^{2}-36}+1\geqslant 0,\qquad \dfrac{2u+37+u^{2}-36}{u^{2}-36}\geqslant 0,\qquad \dfrac{(u+1)^{2}}{(u-6)(u+6)}\geqslant 0.$$

Числитель $(u+1)^{2}\geqslant 0$ и равен нулю при $u=-1$. Поэтому дробь неотрицательна в точке $u=-1$ и там, где знаменатель положителен: $(u-6)(u+6)\gt 0$, то есть $u\lt -6$ или $u\gt 6$.

Возвращаемся к $x$: $u\lt -6$ даёт $0\lt x\lt \dfrac1{64}$; $u=-1$ даёт $x=\dfrac12$; $u\gt 6$ даёт $x\gt 64$. Итог: $\left(0;\dfrac1{64}\right)\cup\left\{\dfrac12\right\}\cup(64;+\infty)$.