Решить неравенство x в квадрате log по основанию 243 левая круглая скобка 4 минус x правая круглая скобка меньше log по основанию 3 левая круглая скобка x в квадрате минус 8x плюс 16 правая круглая скобка .

x принадлежит левая круглая скобка минус корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента ; 3 правая круглая скобка объединение левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента ; 4 правая круглая скобка

Задание 15 ЕГЭ по математике: Решить неравенство x в квадрате log по основанию 243 левая…

№2. Задание 15

ID: 00004412

Решить неравенство $x^2 \log_{243} (4 - x) < \log_3 (x^2 - 8x + 16)$ .

Источник: ФИПИ

Решение

Под логарифмами выражение $4-x$ и его квадрат. Приведём к основанию $3$ ; неравенство строгое — это важно для концов.

Так как $x^{2}-8x+16=(x-4)^{2}$ , область определения: $4-x\gt 0$ , то есть $x\lt 4$ (и $|4-x|=4-x$ ).

Перейдём к основанию $3$ : $\log_{243}(4-x)=\dfrac15\log_3(4-x)$ (ведь $243=3^{5}$ ), $\log_3\big((4-x)^{2}\big)=2\log_3(4-x)$ . Умножив на $5$ и вынеся логарифм:

$(x^{2}-10)\,\log_3(4-x)\lt 0.$

Произведение отрицательно — множители разных знаков. Знаки: $\log_3(4-x)\gt 0$ при $x\lt 3$ , ноль при $x=3$ , отрицателен при $3\lt x\lt 4$ . Скобка $x^{2}-10$ обращается в ноль при $x=\pm\sqrt{10}$ .

На области $x\lt 4$ получаем: $-\sqrt{10}\lt x\lt 3$ (скобка $\lt 0$ , логарифм $\gt 0$ ) и $\sqrt{10}\lt x\lt 4$ (скобка $\gt 0$ , логарифм $\lt 0$ ). Все концы выколоты — знак строгий.

Ответ

$x \in (-\sqrt{10}; 3) \cup (\sqrt{10}; 4)$