ID: 00004412
Решить неравенство $x^2 \log_{243} (4 - x) < \log_3 (x^2 - 8x + 16)$.
Источник: ФИПИ
Под логарифмами выражение $4-x$ и его квадрат. Приведём к основанию $3$; неравенство строгое — это важно для концов.
Так как $x^{2}-8x+16=(x-4)^{2}$, область определения: $4-x\gt 0$, то есть $x\lt 4$ (и $|4-x|=4-x$).
Перейдём к основанию $3$: $\log_{243}(4-x)=\dfrac15\log_3(4-x)$ (ведь $243=3^{5}$), $\log_3\big((4-x)^{2}\big)=2\log_3(4-x)$. Умножив на $5$ и вынеся логарифм:
$$(x^{2}-10)\,\log_3(4-x)\lt 0.$$
Произведение отрицательно — множители разных знаков. Знаки: $\log_3(4-x)\gt 0$ при $x\lt 3$, ноль при $x=3$, отрицателен при $3\lt x\lt 4$. Скобка $x^{2}-10$ обращается в ноль при $x=\pm\sqrt{10}$.
На области $x\lt 4$ получаем: $-\sqrt{10}\lt x\lt 3$ (скобка $\lt 0$, логарифм $\gt 0$) и $\sqrt{10}\lt x\lt 4$ (скобка $\gt 0$, логарифм $\lt 0$). Все концы выколоты — знак строгий.
$x \in (-\sqrt{10}; 3) \cup (\sqrt{10}; 4)$