Логарифмичес… — Задание 16 ЕГЭ по математике №00004412

Под логарифмами выражение $4-x$ и его квадрат. Приведём к основанию $3$; неравенство строгое — это важно для концов.

Так как $x^{2}-8x+16=(x-4)^{2}$, область определения: $4-x\gt 0$, то есть $x\lt 4$ (и $|4-x|=4-x$).

Перейдём к основанию $3$: $\log_{243}(4-x)=\dfrac15\log_3(4-x)$ (ведь $243=3^{5}$), $\log_3\big((4-x)^{2}\big)=2\log_3(4-x)$. Умножив на $5$ и вынеся логарифм:

$$(x^{2}-10)\,\log_3(4-x)\lt 0.$$

Произведение отрицательно — множители разных знаков. Знаки: $\log_3(4-x)\gt 0$ при $x\lt 3$, ноль при $x=3$, отрицателен при $3\lt x\lt 4$. Скобка $x^{2}-10$ обращается в ноль при $x=\pm\sqrt{10}$.

На области $x\lt 4$ получаем: $-\sqrt{10}\lt x\lt 3$ (скобка $\lt 0$, логарифм $\gt 0$) и $\sqrt{10}\lt x\lt 4$ (скобка $\gt 0$, логарифм $\lt 0$). Все концы выколоты — знак строгий.