ID: 00004411
Решить неравенство $\log_4 ((x - 5)(x^2 - 2x - 15)) + 1 \geqslant 0,5\log_2 (x - 5)^2$.
Источник: ФИПИ
Под первым логарифмом стоит произведение, которое раскладывается на множители, а основания $4$ и $2$ легко привести к одному. Это и есть путь к упрощению.
Заметим, что $x^{2}-2x-15=(x-5)(x+3)$, поэтому аргумент первого логарифма равен $(x-5)\cdot(x-5)(x+3)=(x-5)^{2}(x+3)$. Область определения: $(x-5)^{2}(x+3)\gt 0$, то есть $x\gt -3$ и $x\ne 5$.
Приведём всё к основанию $2$. Слева: $\log_4\big((x-5)^{2}(x+3)\big)=\dfrac12\big(2\log_2|x-5|+\log_2(x+3)\big)=\log_2|x-5|+\dfrac12\log_2(x+3)$. Справа: $0{,}5\log_2(x-5)^{2}=\log_2|x-5|$.
Подставляем в неравенство; одинаковые слагаемые $\log_2|x-5|$ сокращаются, и остаётся:
$$\dfrac12\log_2(x+3)+1\geqslant 0,\qquad \log_2(x+3)\geqslant -2.$$
Это значит $x+3\geqslant 2^{-2}=\dfrac14$, откуда $x\geqslant -\dfrac{11}{4}$.
Накладываем ОДЗ ($x\gt -3$, $x\ne 5$) и получаем $\left[-\dfrac{11}{4};5\right)\cup(5;+\infty)$.
$[-\dfrac{11}{4}; 5) \cup (5; +\infty)$