Логарифмичес… — Задание 16 ЕГЭ по математике №00004410

В неравенстве дважды встречается $\log_5 x$ (в кубе и в первой степени). Обозначим его буквой и вынесем общий множитель.

Область определения: под логарифмом $x$, поэтому $x\gt 0$. Пусть $u=\log_5 x$. Неравенство $u^{3}+u\geqslant 0$ перепишем, вынеся $u$ за скобку:

$$u(u^{2}+1)\geqslant 0.$$

Множитель $u^{2}+1$ всегда положителен (квадрат плюс единица не может быть нулём или меньше). Значит знак всего произведения определяет только $u$, и условие сводится к $u\geqslant 0$.

Возвращаемся к $x$: $\log_5 x\geqslant 0$ означает $x\geqslant 1$ (ведь $5^{0}=1$). Итог: $[1;+\infty)$.