В неравенстве дважды встречается \log_5 x (в кубе и в первой степени). Обозначим его буквой и вынесем общий множитель.

Область определения: под логарифмом x, поэтому x\gt 0. Пусть u=\log_5 x. Неравенство u^{3}+u\geqslant 0 перепишем, вынеся u за скобку:

u(u^{2}+1)\geqslant 0.

Множитель u^{2}+1 всегда положителен (квадрат плюс единица не может быть нулём или меньше). Значит знак всего произведения определяет только u, и условие сводится к u\geqslant 0.

Возвращаемся к x: \log_5 x\geqslant 0 означает x\geqslant 1 (ведь 5^{0}=1). Итог: [1;+\infty).