ID: 00004407
Решите неравенство $\dfrac{10^x - 8 \cdot 5^x}{2^x \cdot x + 64 - 8x - 8 \cdot 2^x} \leqslant \dfrac{5}{x - 8}$
Источник: ФИПИ
И числитель, и знаменатель содержат общий множитель $2^{x}-8$. Найдём его, но запомним, где он равен нулю.
Числитель: $10^{x}-8\cdot 5^{x}=5^{x}(2^{x}-8)$. Знаменатель сгруппируем: $2^{x}\cdot x+64-8x-8\cdot 2^{x}=2^{x}(x-8)-8(x-8)=(x-8)(2^{x}-8)$.
Множитель $2^{x}-8$ равен нулю при $x=3$ — там дробь не определена, поэтому $x=3$ исключаем.
При $x\ne 3$ сокращаем на $2^{x}-8$:
$$\dfrac{5^{x}}{x-8}\leqslant\dfrac{5}{x-8},\qquad \dfrac{5^{x}-5}{x-8}\leqslant 0.$$
Нуль числителя $x=1$ (входит), точка разрыва $x=8$ (выколота). Дробь не больше нуля на $[1;8)$. Убираем точку $x=3$ — получаем $[1;3)\cup(3;8)$.
$[1; 3) \cup (3; 8)$