Неравенства… — Задание 16 ЕГЭ по математике №00004405

Числитель раскладывается группировкой, а знаменатель — это обычный квадратный трёхчлен относительно $x$.

Разложим числитель. Обозначив $a=2^{x}$, $b=5^{x}$, имеем $10^{x}=ab$, поэтому $10^{x}-25\cdot 2^{x}-2\cdot 5^{x}+50=ab-25a-2b+50=(a-2)(b-25)=(2^{x}-2)(5^{x}-25)$.

Знаменатель: $5x-x^{2}-4=-(x^{2}-5x+4)=-(x-1)(x-4)$. Неравенство:

$$\dfrac{(2^{x}-2)(5^{x}-25)}{-(x-1)(x-4)}\geqslant 0,\qquad \dfrac{(2^{x}-2)(5^{x}-25)}{(x-1)(x-4)}\leqslant 0.$$

Нули множителей: $2^{x}=2$ даёт $x=1$; $5^{x}=25$ даёт $x=2$; и точки разрыва $x=1$, $x=4$.

Расставим точки $1,2,4$ и определим знак. На промежутке $(2;4)$ дробь отрицательна; точка $x=2$ — нуль числителя (входит), точки $x=1$ и $x=4$ выколоты. Итог: $x\in[2;4)$.