Решите неравенство дробь: числитель: 10 в степени x минус 25 умножить на 2 в степени x минус 2 умножить на 5 в степени x плюс 50, знаменатель: 5x минус x в квадрате минус 4 конец дроби 0

левая квадратная скобка 2; 4 правая круглая скобка

Задание 15 ЕГЭ по математике: Решите неравенство дробь: числитель: 10 в степени x минус 25…

№2. Задание 15

ID: 00004405

Решите неравенство $\dfrac{10^x - 25 \cdot 2^x - 2 \cdot 5^x + 50}{5x - x^2 - 4} \geqslant 0$

Источник: ФИПИ

Решение

Числитель раскладывается группировкой, а знаменатель — это обычный квадратный трёхчлен относительно $x$ .

Разложим числитель. Обозначив $a=2^{x}$ , $b=5^{x}$ , имеем $10^{x}=ab$ , поэтому $10^{x}-25\cdot 2^{x}-2\cdot 5^{x}+50=ab-25a-2b+50=(a-2)(b-25)=(2^{x}-2)(5^{x}-25)$ .

Знаменатель: $5x-x^{2}-4=-(x^{2}-5x+4)=-(x-1)(x-4)$ . Неравенство:

$\dfrac{(2^{x}-2)(5^{x}-25)}{-(x-1)(x-4)}\geqslant 0,\qquad \dfrac{(2^{x}-2)(5^{x}-25)}{(x-1)(x-4)}\leqslant 0.$

Нули множителей: $2^{x}=2$ даёт $x=1$ ; $5^{x}=25$ даёт $x=2$ ; и точки разрыва $x=1$ , $x=4$ .

Расставим точки $1,2,4$ и определим знак. На промежутке $(2;4)$ дробь отрицательна; точка $x=2$ — нуль числителя (входит), точки $x=1$ и $x=4$ выколоты. Итог: $x\in[2;4)$ .

Ответ

$[2; 4)$