Неравенства… — Задание 15 ЕГЭ по математике №00004404

Всюду стоит $11^{x}$ — заменим его буквой $t$ и соберём всё в одну дробь.

Пусть $t=11^{x}$, $t\gt 0$. Тогда $121^{x}=(11^{x})^{2}=t^{2}$, и знаменатель дроби $121^{x}-16\cdot 11^{x}+60=t^{2}-16t+60=(t-6)(t-10)$. Неравенство принимает вид:

$$t-6-\dfrac{24t-244}{(t-6)(t-10)}\leqslant \dfrac{1}{t-10}.$$

Перенесём всё влево и приведём к общему знаменателю $(t-6)(t-10)$. После упрощения числитель сворачивается в $(t-11)(t-1)(t-10)^{2}$:

$$\dfrac{(t-11)(t-1)(t-10)^{2}}{(t-6)(t-10)^{2}}\leqslant 0.$$

Сократим на $(t-10)^{2}$ (точка $t=10$ исключена — там нуль знаменателя):

$$\dfrac{(t-11)(t-1)}{t-6}\leqslant 0.$$

Нули числителя $t=1$, $t=11$ входят, точка $t=6$ выколота, отдельно выколота $t=10$. На луче $t\gt 0$ дробь не больше нуля на $(0;1]$ и на $(6;11]$ (без $t=10$).

Возвращаемся к $x$: $t\leqslant 1$ даёт $x\leqslant 0$; $6\lt t\lt 10$ даёт $\log_{11}6\lt x\lt \log_{11}10$; $10\lt t\leqslant 11$ даёт $\log_{11}10\lt x\leqslant 1$. Итог: $(-\infty;0]\cup(\log_{11}6;\log_{11}10)\cup(\log_{11}10;1]$.