Неравенства… — Задание 16 ЕГЭ по математике №00004402

Всюду встречается $8^{x}$ — заменим его буквой $t$. Неравенство строгое, это запомним для границ.

Пусть $t=8^{x}$, $t\gt 0$. Тогда $2\cdot 8^{x-1}=\dfrac{2\cdot 8^{x}}{8}=\dfrac{t}{4}$, а $64^{x}=(8^{x})^{2}=t^{2}$. Левая дробь упрощается: $\dfrac{t/4}{t/4-1}=\dfrac{t}{t-4}$. Знаменатель последнего слагаемого: $64^{x}-5\cdot 8^{x}+4=t^{2}-5t+4=(t-1)(t-4)$.

Перенесём всё влево к общему знаменателю $(t-4)(t-1)$:

$$\dfrac{t(t-1)-3(t-4)-8}{(t-4)(t-1)}\gt 0.$$

Раскроем числитель: $t^{2}-t-3t+12-8=t^{2}-4t+4=(t-2)^{2}$. Значит:

$$\dfrac{(t-2)^{2}}{(t-4)(t-1)}\gt 0.$$

Числитель $(t-2)^{2}\gt 0$ при $t\ne 2$ (а при $t=2$ дробь равна нулю — строгому неравенству не подходит). Значит дробь положительна там, где знаменатель положителен: $(t-4)(t-1)\gt 0$, то есть $0\lt t\lt 1$ или $t\gt 4$.

Возвращаемся к $x$: $8^{x}\lt 1$ даёт $x\lt 0$; $8^{x}\gt 4$ даёт $x\gt \dfrac23$ (ведь $4=8^{2/3}$). Итог: $(-\infty;0)\cup\left(\dfrac23;+\infty\right)$.