Неравенства… — Задание 15 ЕГЭ по математике №00004400

Здесь одно и то же выражение $2^{2-x^{2}}-1$ встречается и в квадрате, и в первой степени. Обозначим его одной буквой — получится квадратное неравенство.

Пусть $s=2^{2-x^{2}}-1$. Знаменатели не должны быть нулём, поэтому $s\ne 0$, то есть $2^{2-x^{2}}\ne 1$, что выкалывает $x=\pm\sqrt2$.

Умножим неравенство на $s^{2}\gt 0$ (знак не меняется) и приведём подобные:

$$3-4s+s^{2}\geqslant 0,\qquad (s-1)(s-3)\geqslant 0.$$

Произведение двух скобок неотрицательно, когда $s$ вне отрезка между корнями: $s\leqslant 1$ или $s\geqslant 3$. Разберём оба случая.

Случай $s\leqslant 1$: $2^{2-x^{2}}-1\leqslant 1$, то есть $2^{2-x^{2}}\leqslant 2$. Степени двойки сравниваем по показателям: $2-x^{2}\leqslant 1$, значит $x^{2}\geqslant 1$, то есть $x\leqslant -1$ или $x\geqslant 1$.

Случай $s\geqslant 3$: $2^{2-x^{2}}\geqslant 4$, то есть $2-x^{2}\geqslant 2$, значит $x^{2}\leqslant 0$. Это возможно только при $x=0$ — единственная точка.

Объединяем оба случая и выкалываем из ОДЗ точки $x=\pm\sqrt2$. Получаем $(-\infty;-\sqrt2)\cup(-\sqrt2;-1]\cup\{0\}\cup[1;\sqrt2)\cup(\sqrt2;+\infty)$.