Неравенства… — Задание 16 ЕГЭ по математике №00004399

Дробное неравенство со степенью $3^{x}$. Заменим её буквой и приведём к одной дроби.

Пусть $t=3^{x}$, $t\gt 0$:

$$t+\dfrac{243}{t-84}\leqslant 0,\qquad \dfrac{t(t-84)+243}{t-84}\leqslant 0,\qquad \dfrac{t^{2}-84t+243}{t-84}\leqslant 0.$$

Числитель раскладываем: его корни $t=3$ и $t=81$ (дискриминант равен $78^{2}$), поэтому $\dfrac{(t-3)(t-81)}{t-84}\leqslant 0$.

Точки $3$ и $81$ входят, $84$ выколота. С учётом $t\gt 0$ дробь не больше нуля на $(0;3]$ и на $[81;84)$.

Возвращаемся к $x$: $3^{x}\leqslant 3$ даёт $x\leqslant 1$; $81\leqslant 3^{x}\lt 84$ даёт $4\leqslant x\lt\log_3 84$.