Неравенства… — Задание 16 ЕГЭ по математике №00004398

Снова всюду $3^{x}$ — заменим его буквой $t$. Только теперь неравенство строгое ($\lt$), и это повлияет на то, какие точки войдут в ответ.

Пусть $t=3^{x}$, $t\gt 0$. Перенесём всё влево:

$$\dfrac{13}{t-81}-\dfrac{1}{t-9}\lt 0.$$

Складываем в одну дробь. Числитель: $13(t-9)-(t-81)=13t-117-t+81=12t-36=12(t-3)$:

$$\dfrac{12(t-3)}{(t-81)(t-9)}\lt 0.$$

Границы — $t=3$, $t=9$, $t=81$. Так как неравенство строгое, все они выколоты. На луче $t\gt 0$ дробь отрицательна на $(0;3)$ и на $(9;81)$.

Возвращаемся к $x$. Из $3^{x}\lt 3$ получаем $x\lt 1$. Из $9\lt 3^{x}\lt 81$ получаем $2\lt x\lt 4$ (ведь $9=3^{2}$, $81=3^{4}$). Итог: $(-\infty;1)\cup(2;4)$.