В неравенстве намешаны разные показательные слагаемые. Идея: всё выражается через две базовые степени — 2^{x} и 3^{x}. Обозначим их буквами и разложим на множители.

Пусть a=2^{x} и b=3^{x} (обе положительны). Распишем каждое слагаемое: 12^{x}=4^{x}\cdot 3^{x}=a^{2}b, 8^{x}=a^{3}, 6^{x+1}=6ab, 4^{x+1}=4a^{2}, 3^{x}=b, 2^{x+5}=32a. Неравенство принимает вид:

a^{2}b-a^{3}-12ab+12a^{2}+32b-32a\leqslant 0.

Сгруппируем слагаемые по парам так, чтобы из каждой вынести (b-a):

a^{2}(b-a)-12a(b-a)+32(b-a)\leqslant 0.

Вынесем (b-a) за скобку, а оставшийся трёхчлен a^{2}-12a+32 разложим как (a-4)(a-8):

(b-a)(a-4)(a-8)\leqslant 0,\qquad\text{то есть}\qquad (3^{x}-2^{x})(2^{x}-4)(2^{x}-8)\leqslant 0.

Определим знак каждого множителя. 3^{x}-2^{x}\gt 0 при x\gt 0 (тогда (3/2)^{x}\gt 1) и равен нулю при x=0. 2^{x}-4 меняет знак в точке x=2, а 2^{x}-8 — в точке x=3.

Отметим нули 0,\,2,\,3 и проверим знак произведения по промежуткам. При x\lt 0 все три скобки отрицательны — произведение отрицательно (подходит). На (0;2) оно положительно, на (2;3) снова отрицательно, при x\gt 3 положительно. Значит ответ: x\leqslant 0 и 2\leqslant x\leqslant 3.