В неравенстве есть 121^{x} и 11^{x}. Поскольку 121=11^{2}, то 121^{x}=(11^{x})^{2} — это квадрат от 11^{x}. Удобно заменить 11^{x} одной буквой и получить квадратное неравенство.

Пусть t=11^{x}. Степень всегда положительна, поэтому t\gt 0. Перенесём всё в левую часть:

3t^{2}-4t+1\geqslant 0.

Разложим на множители. Корни трёхчлена t=\dfrac13 и t=1, поэтому 3t^{2}-4t+1=(3t-1)(t-1):

(3t-1)(t-1)\geqslant 0.

Парабола ветвями вверх — выражение неотрицательно вне корней: t\leqslant\dfrac13 или t\geqslant 1.

Возвращаемся к x. Из 11^{x}\leqslant\dfrac13 получаем x\leqslant\log_{11}\dfrac13=-\log_{11}3. Из 11^{x}\geqslant 1=11^{0} получаем x\geqslant 0.