Неравенства… — Задание 16 ЕГЭ по математике №00004394

В неравенстве есть $121^{x}$ и $11^{x}$. Поскольку $121=11^{2}$, то $121^{x}=(11^{x})^{2}$ — это квадрат от $11^{x}$. Удобно заменить $11^{x}$ одной буквой и получить квадратное неравенство.

Пусть $t=11^{x}$. Степень всегда положительна, поэтому $t\gt 0$. Перенесём всё в левую часть:

$$3t^{2}-4t+1\geqslant 0.$$

Разложим на множители. Корни трёхчлена $t=\dfrac13$ и $t=1$, поэтому $3t^{2}-4t+1=(3t-1)(t-1)$:

$$(3t-1)(t-1)\geqslant 0.$$

Парабола ветвями вверх — выражение неотрицательно вне корней: $t\leqslant\dfrac13$ или $t\geqslant 1$.

Возвращаемся к $x$. Из $11^{x}\leqslant\dfrac13$ получаем $x\leqslant\log_{11}\dfrac13=-\log_{11}3$. Из $11^{x}\geqslant 1=11^{0}$ получаем $x\geqslant 0$.