ID: 00004388
а) Решите уравнение $2\sin^2 \left( \dfrac{\pi}{2} - x \right) + \sin 2x = 0$.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ 3\pi; \dfrac{9\pi}{2} \right]$
Источник: ФИПИ
Пункт а. Приведение $\sin\!\left(\tfrac{\pi}{2}-x\right)=\cos x$ и $\sin 2x=2\sin x\cos x$:
$$2\cos^2 x+2\sin x\cos x=0$$
Вынесем $2\cos x$:
$$2\cos x\,(\cos x+\sin x)=0$$
Выпишем все серии корней:
$$\cos x=0\;\Rightarrow\;x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$
$$\operatorname{tg} x=-1\;\Rightarrow\;x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$
Пункт б. Отберём корни, принадлежащие отрезку $\left[3 \pi;\,\frac{9 \pi}{2}\right]$. Отметим на числовой окружности концы отрезка $\left[3 \pi;\,\frac{9 \pi}{2}\right]$, выделим соответствующую дугу и переберём в каждой серии целые значения параметра — оставим корни, попавшие на дугу.
Получаем корни, принадлежащие отрезку:
$$\frac{7 \pi}{2}, \frac{15 \pi}{4}, \frac{9 \pi}{2}$$
а) $\dfrac{\pi}{2} + \pi n, n \in Z; -\dfrac{\pi}{4} + \pi k, k \in Z$
б) $\dfrac{7\pi}{2}, \dfrac{15\pi}{4}, \dfrac{9\pi}{2}$