Тригонометри… — Задание 14 ЕГЭ по математике №00004388

Пункт а. Приведение $\sin\!\left(\tfrac{\pi}{2}-x\right)=\cos x$ и $\sin 2x=2\sin x\cos x$:

$$2\cos^2 x+2\sin x\cos x=0$$

Вынесем $2\cos x$:

$$2\cos x\,(\cos x+\sin x)=0$$

Выпишем все серии корней:

$$\cos x=0\;\Rightarrow\;x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$

$$\operatorname{tg} x=-1\;\Rightarrow\;x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$

Пункт б. Отберём корни, принадлежащие отрезку $\left[3 \pi;\,\frac{9 \pi}{2}\right]$. Отметим на числовой окружности концы отрезка $\left[3 \pi;\,\frac{9 \pi}{2}\right]$, выделим соответствующую дугу и переберём в каждой серии целые значения параметра — оставим корни, попавшие на дугу.

Получаем корни, принадлежащие отрезку:

$$\frac{7 \pi}{2}, \frac{15 \pi}{4}, \frac{9 \pi}{2}$$