Тригонометри… — Задание 14 ЕГЭ по математике №00004387

Пункт а. Раскроем $\sin 2x=2\sin x\cos x$, $\sin(-x)=-\sin x$, $\cos(-x)=\cos x$ и сгруппируем:

$$2\sin x(\cos x-1)+(\cos x-1)=0$$

Вынесем $(\cos x-1)$:

$$(\cos x-1)(2\sin x+1)=0$$

Выпишем все серии корней:

$$\cos x=1\;\Rightarrow\;x=2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$

$$\sin x=-\tfrac12\;\Rightarrow\;x=-\frac{\pi}{6}+2\pi n,\ x=-\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$

Пункт б. Отберём корни, принадлежащие отрезку $\left[2 \pi;\,\frac{7 \pi}{2}\right]$. Отметим на числовой окружности концы отрезка $\left[2 \pi;\,\frac{7 \pi}{2}\right]$, выделим соответствующую дугу и переберём в каждой серии целые значения параметра — оставим корни, попавшие на дугу.

Получаем корни, принадлежащие отрезку:

$$2 \pi, \frac{19 \pi}{6}$$