ID: 00004387
а) Решите уравнение $\sin 2x + 2\sin(-x) + \cos(-x) - 1 = 0$.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ 2\pi; \dfrac{7\pi}{2} \right]$
Источник: ФИПИ
Пункт а. Раскроем $\sin 2x=2\sin x\cos x$, $\sin(-x)=-\sin x$, $\cos(-x)=\cos x$ и сгруппируем:
$$2\sin x(\cos x-1)+(\cos x-1)=0$$
Вынесем $(\cos x-1)$:
$$(\cos x-1)(2\sin x+1)=0$$
Выпишем все серии корней:
$$\cos x=1\;\Rightarrow\;x=2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$
$$\sin x=-\tfrac12\;\Rightarrow\;x=-\frac{\pi}{6}+2\pi n,\ x=-\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$
Пункт б. Отберём корни, принадлежащие отрезку $\left[2 \pi;\,\frac{7 \pi}{2}\right]$. Отметим на числовой окружности концы отрезка $\left[2 \pi;\,\frac{7 \pi}{2}\right]$, выделим соответствующую дугу и переберём в каждой серии целые значения параметра — оставим корни, попавшие на дугу.
Получаем корни, принадлежащие отрезку:
$$2 \pi, \frac{19 \pi}{6}$$
а) $2\pi n, n \in Z; \dfrac{\pi}{6} + 2\pi k, \dfrac{5\pi}{6} + 2\pi k, k \in Z$
б) $2\pi, \dfrac{19\pi}{6}$