Задание 13 ЕГЭ по математике: а) Решите уравнение 2 косинус x минус корень из: начало…

№2. Задание 13

ID: 00004386

а) Решите уравнение $2\cos x - \sqrt{3}\sin^2 x = 2\cos^3 x$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ -\dfrac{7\pi}{2}; -2\pi \right]$

Источник: ФИПИ

Решение

Пункт а. Перенесём всё влево и заменим $1-\cos^2 x=\sin^2 x$ :

$2\cos x\sin^2 x-\sqrt3\sin^2 x=0$

Вынесем $\sin^2 x$ :

$\sin^2 x\,(2\cos x-\sqrt3)=0$

Выпишем все серии корней:

$\sin x=0\;\Rightarrow\;x=\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$

$\cos x=\tfrac{\sqrt3}{2}\;\Rightarrow\;x=\pm\frac{\pi}{6}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$

Пункт б. Отберём корни, принадлежащие отрезку $\left[- \frac{7 \pi}{2};\,- 2 \pi\right]$ . Отметим на числовой окружности концы отрезка $\left[- \frac{7 \pi}{2};\,- 2 \pi\right]$ , выделим соответствующую дугу и переберём в каждой серии целые значения параметра — оставим корни, попавшие на дугу.

Получаем корни, принадлежащие отрезку:

$- 3 \pi, - \frac{13 \pi}{6}, - 2 \pi$

Ответ

а) $\pi n, n \in Z; \pm \dfrac{\pi}{6} + 2\pi k, k \in Z$

б) $-3\pi, -\dfrac{13\pi}{6}, -2\pi$