ID: 00004386
а) Решите уравнение $2\cos x - \sqrt{3}\sin^2 x = 2\cos^3 x$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ -\dfrac{7\pi}{2}; -2\pi \right]$
Источник: ФИПИ
Пункт а. Перенесём всё влево и заменим $1-\cos^2 x=\sin^2 x$:
$$2\cos x\sin^2 x-\sqrt3\sin^2 x=0$$
Вынесем $\sin^2 x$:
$$\sin^2 x\,(2\cos x-\sqrt3)=0$$
Выпишем все серии корней:
$$\sin x=0\;\Rightarrow\;x=\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$
$$\cos x=\tfrac{\sqrt3}{2}\;\Rightarrow\;x=\pm\frac{\pi}{6}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$
Пункт б. Отберём корни, принадлежащие отрезку $\left[- \frac{7 \pi}{2};\,- 2 \pi\right]$. Отметим на числовой окружности концы отрезка $\left[- \frac{7 \pi}{2};\,- 2 \pi\right]$, выделим соответствующую дугу и переберём в каждой серии целые значения параметра — оставим корни, попавшие на дугу.
Получаем корни, принадлежащие отрезку:
$$- 3 \pi, - \frac{13 \pi}{6}, - 2 \pi$$
а) $\pi n, n \in Z; \pm \dfrac{\pi}{6} + 2\pi k, k \in Z$
б) $-3\pi, -\dfrac{13\pi}{6}, -2\pi$