ID: 00004384
а) Решите уравнение $2\cos^3 x + \sqrt{3}\cos^2 x + 2\cos x + \sqrt{3} = 0$.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ -2\pi; -\dfrac{\pi}{2} \right]$
Источник: ФИПИ
Пункт а. Группировка по $(2\cos x+\sqrt3)$:
$$\cos^2 x(2\cos x+\sqrt3)+(2\cos x+\sqrt3)=0$$
Так как $\cos^2 x+1>0$:
$$(2\cos x+\sqrt3)(\cos^2 x+1)=0\;\Rightarrow\;\cos x=-\tfrac{\sqrt3}{2}$$
Выпишем все серии корней:
$$\cos x=-\tfrac{\sqrt3}{2}\;\Rightarrow\;x=\pm\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$
Пункт б. Отберём корни, принадлежащие отрезку $\left[- 2 \pi;\,- \frac{\pi}{2}\right]$. Отметим на числовой окружности концы отрезка $\left[- 2 \pi;\,- \frac{\pi}{2}\right]$, выделим соответствующую дугу и переберём в каждой серии целые значения параметра — оставим корни, попавшие на дугу.
Получаем корни, принадлежащие отрезку:
$$- \frac{7 \pi}{6}, - \frac{5 \pi}{6}$$
а) $x=\pm\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$
б) $- \frac{7 \pi}{6}, - \frac{5 \pi}{6}$