ID: 00004384
а) Решите уравнение 2\cos^3 x + \sqrt{3}\cos^2 x + 2\cos x + \sqrt{3} = 0.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \left[ -2\pi; -\dfrac{\pi}{2} \right]
Источник: ФИПИ
Пункт а. Группировка по (2\cos x+\sqrt3):
\cos^2 x(2\cos x+\sqrt3)+(2\cos x+\sqrt3)=0
Так как \cos^2 x+1>0:
(2\cos x+\sqrt3)(\cos^2 x+1)=0\;\Rightarrow\;\cos x=-\tfrac{\sqrt3}{2}
Выпишем все серии корней:
\cos x=-\tfrac{\sqrt3}{2}\;\Rightarrow\;x=\pm\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}
Пункт б. Отберём корни, принадлежащие отрезку \left[- 2 \pi;\,- \frac{\pi}{2}\right]. Отметим на числовой окружности концы отрезка \left[- 2 \pi;\,- \frac{\pi}{2}\right], выделим соответствующую дугу и переберём в каждой серии целые значения параметра — оставим корни, попавшие на дугу.
Получаем корни, принадлежащие отрезку:
- \frac{7 \pi}{6}, - \frac{5 \pi}{6}
а) x=\pm\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}
б) - \frac{7 \pi}{6}, - \frac{5 \pi}{6}