Тригонометри… — Задание 13 ЕГЭ по математике №00004383

Пункт а. Перенесём $\cos x$ влево: $\cos x(\cos 2x-1)=\sqrt2\sin^2 x$ и $\cos 2x-1=-2\sin^2 x$:

$$-2\sin^2 x\cos x-\sqrt2\sin^2 x=0$$

Вынесем $\sin^2 x$:

$$\sin^2 x\,(2\cos x+\sqrt2)=0$$

Выпишем все серии корней:

$$\sin x=0\;\Rightarrow\;x=\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$

$$\cos x=-\tfrac{\sqrt2}{2}\;\Rightarrow\;x=\pm\frac{3\pi}{4}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$

Пункт б. Отберём корни, принадлежащие отрезку $\left[- \frac{5 \pi}{2};\,- \pi\right]$. Отметим на числовой окружности концы отрезка $\left[- \frac{5 \pi}{2};\,- \pi\right]$, выделим соответствующую дугу и переберём в каждой серии целые значения параметра — оставим корни, попавшие на дугу.

Получаем корни, принадлежащие отрезку:

$$- 2 \pi, - \frac{5 \pi}{4}, - \pi$$