ID: 00004382
а) Решите уравнение $\sin x \cdot \cos 2x + \sqrt{2}\cos^2 x + \sin x = 0$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ \dfrac{3\pi}{2}; 3\pi \right]$
Источник: ФИПИ
Пункт а. Заменим $\cos 2x=1-2\sin^2 x$ и $\cos^2 x=1-\sin^2 x$, соберём кубическое по $\sin x$:
$$2\sin^3 x+\sqrt2\sin^2 x-2\sin x-\sqrt2=0$$
Группировка:
$$(2\sin x+\sqrt2)(\sin^2 x-1)=0$$
Выпишем все серии корней:
$$\sin x=1\;\Rightarrow\;x=\frac{\pi}{2}+2\pi n;\ \sin x=-1\;\Rightarrow\;x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$
$$\sin x=-\tfrac{\sqrt2}{2}\;\Rightarrow\;x=-\frac{\pi}{4}+2\pi n,\ x=-\frac{3\pi}{4}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$
Пункт б. Отберём корни, принадлежащие отрезку $\left[\frac{3 \pi}{2};\,3 \pi\right]$. Отметим на числовой окружности концы отрезка $\left[\frac{3 \pi}{2};\,3 \pi\right]$, выделим соответствующую дугу и переберём в каждой серии целые значения параметра — оставим корни, попавшие на дугу.
Получаем корни, принадлежащие отрезку:
$$\frac{3 \pi}{2}, \frac{7 \pi}{4}, \frac{5 \pi}{2}$$
а) $\dfrac{\pi}{2} + \pi n, n \in Z; -\dfrac{\pi}{4} + 2\pi k, -\dfrac{3\pi}{4} + 2\pi k, k \in Z$
б) $\dfrac{3\pi}{2}, \dfrac{7\pi}{4}, \dfrac{5\pi}{2}$