Тригонометри… — Задание 14 ЕГЭ по математике №00004382

Пункт а. Заменим $\cos 2x=1-2\sin^2 x$ и $\cos^2 x=1-\sin^2 x$, соберём кубическое по $\sin x$:

$$2\sin^3 x+\sqrt2\sin^2 x-2\sin x-\sqrt2=0$$

Группировка:

$$(2\sin x+\sqrt2)(\sin^2 x-1)=0$$

Выпишем все серии корней:

$$\sin x=1\;\Rightarrow\;x=\frac{\pi}{2}+2\pi n;\ \sin x=-1\;\Rightarrow\;x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$

$$\sin x=-\tfrac{\sqrt2}{2}\;\Rightarrow\;x=-\frac{\pi}{4}+2\pi n,\ x=-\frac{3\pi}{4}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$

Пункт б. Отберём корни, принадлежащие отрезку $\left[\frac{3 \pi}{2};\,3 \pi\right]$. Отметим на числовой окружности концы отрезка $\left[\frac{3 \pi}{2};\,3 \pi\right]$, выделим соответствующую дугу и переберём в каждой серии целые значения параметра — оставим корни, попавшие на дугу.

Получаем корни, принадлежащие отрезку:

$$\frac{3 \pi}{2}, \frac{7 \pi}{4}, \frac{5 \pi}{2}$$