Тригонометри… — Задание 14 ЕГЭ по математике №00004379

Пункт а. Приведение $\sin\!\left(\tfrac{\pi}{2}+x\right)=\cos x$ и $\cos 2x=2\cos^2 x-1$:

$$2\cos^2 x+\sqrt3\cos x=0$$

Вынесем $\cos x$:

$$\cos x\,(2\cos x+\sqrt3)=0$$

Выпишем все серии корней:

$$\cos x=0\;\Rightarrow\;x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$

$$\cos x=-\tfrac{\sqrt3}{2}\;\Rightarrow\;x=\pm\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$

Пункт б. Отберём корни, принадлежащие отрезку $\left[- 3 \pi;\,- \frac{3 \pi}{2}\right]$. Отметим на числовой окружности концы отрезка $\left[- 3 \pi;\,- \frac{3 \pi}{2}\right]$, выделим соответствующую дугу и переберём в каждой серии целые значения параметра — оставим корни, попавшие на дугу.

Получаем корни, принадлежащие отрезку:

$$- \frac{17 \pi}{6}, - \frac{5 \pi}{2}, - \frac{3 \pi}{2}$$