ID: 00004379
а) Решите уравнение \cos 2x + \sqrt{3} \sin \left(\dfrac{\pi}{2} + x\right) + 1 = 0
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-3\pi; -\dfrac{3\pi}{2}]
Источник: ФИПИ
Пункт а. Приведение \sin\!\left(\tfrac{\pi}{2}+x\right)=\cos x и \cos 2x=2\cos^2 x-1:
2\cos^2 x+\sqrt3\cos x=0
Вынесем \cos x:
\cos x\,(2\cos x+\sqrt3)=0
Выпишем все серии корней:
\cos x=0\;\Rightarrow\;x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}
\cos x=-\tfrac{\sqrt3}{2}\;\Rightarrow\;x=\pm\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}
Пункт б. Отберём корни, принадлежащие отрезку \left[- 3 \pi;\,- \frac{3 \pi}{2}\right]. Отметим на числовой окружности концы отрезка \left[- 3 \pi;\,- \frac{3 \pi}{2}\right], выделим соответствующую дугу и переберём в каждой серии целые значения параметра — оставим корни, попавшие на дугу.
Получаем корни, принадлежащие отрезку:
- \frac{17 \pi}{6}, - \frac{5 \pi}{2}, - \frac{3 \pi}{2}
а) x=\frac{\pi}{2}+\pi n;\ x=\pm\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}
б) - \frac{17 \pi}{6}, - \frac{5 \pi}{2}, - \frac{3 \pi}{2}