ID: 00004379
а) Решите уравнение $\cos 2x + \sqrt{3} \sin \left(\dfrac{\pi}{2} + x\right) + 1 = 0$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[-3\pi; -\dfrac{3\pi}{2}]$
Источник: ФИПИ
Пункт а. Приведение $\sin\!\left(\tfrac{\pi}{2}+x\right)=\cos x$ и $\cos 2x=2\cos^2 x-1$:
$$2\cos^2 x+\sqrt3\cos x=0$$
Вынесем $\cos x$:
$$\cos x\,(2\cos x+\sqrt3)=0$$
Выпишем все серии корней:
$$\cos x=0\;\Rightarrow\;x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$
$$\cos x=-\tfrac{\sqrt3}{2}\;\Rightarrow\;x=\pm\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$
Пункт б. Отберём корни, принадлежащие отрезку $\left[- 3 \pi;\,- \frac{3 \pi}{2}\right]$. Отметим на числовой окружности концы отрезка $\left[- 3 \pi;\,- \frac{3 \pi}{2}\right]$, выделим соответствующую дугу и переберём в каждой серии целые значения параметра — оставим корни, попавшие на дугу.
Получаем корни, принадлежащие отрезку:
$$- \frac{17 \pi}{6}, - \frac{5 \pi}{2}, - \frac{3 \pi}{2}$$
а) $x=\frac{\pi}{2}+\pi n;\ x=\pm\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$
б) $- \frac{17 \pi}{6}, - \frac{5 \pi}{2}, - \frac{3 \pi}{2}$