Тригонометри… — Задание 14 ЕГЭ по математике №00004377

Пункт а. Приведение $\cos(x+\pi)=-\cos x$ и $\cos 2x=2\cos^2 x-1$:

$$2\cos^2 x-\sqrt2\cos x=0$$

Вынесем $\cos x$:

$$\cos x\,(2\cos x-\sqrt2)=0$$

Выпишем все серии корней:

$$\cos x=0\;\Rightarrow\;x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$

$$\cos x=\tfrac{\sqrt2}{2}\;\Rightarrow\;x=\pm\frac{\pi}{4}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$

Пункт б. Отберём корни, принадлежащие отрезку $\left[- 4 \pi;\,- \frac{5 \pi}{2}\right]$. Отметим на числовой окружности концы отрезка $\left[- 4 \pi;\,- \frac{5 \pi}{2}\right]$, выделим соответствующую дугу и переберём в каждой серии целые значения параметра — оставим корни, попавшие на дугу.

Получаем корни, принадлежащие отрезку:

$$- \frac{15 \pi}{4}, - \frac{7 \pi}{2}, - \frac{5 \pi}{2}$$