ID: 00004377
а) Решите уравнение $\cos 2x + \sqrt{2} \cos(x + \pi) + 1 = 0$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[-4\pi; -\dfrac{5\pi}{2}]$
Источник: ФИПИ
Пункт а. Приведение $\cos(x+\pi)=-\cos x$ и $\cos 2x=2\cos^2 x-1$:
$$2\cos^2 x-\sqrt2\cos x=0$$
Вынесем $\cos x$:
$$\cos x\,(2\cos x-\sqrt2)=0$$
Выпишем все серии корней:
$$\cos x=0\;\Rightarrow\;x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$
$$\cos x=\tfrac{\sqrt2}{2}\;\Rightarrow\;x=\pm\frac{\pi}{4}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$
Пункт б. Отберём корни, принадлежащие отрезку $\left[- 4 \pi;\,- \frac{5 \pi}{2}\right]$. Отметим на числовой окружности концы отрезка $\left[- 4 \pi;\,- \frac{5 \pi}{2}\right]$, выделим соответствующую дугу и переберём в каждой серии целые значения параметра — оставим корни, попавшие на дугу.
Получаем корни, принадлежащие отрезку:
$$- \frac{15 \pi}{4}, - \frac{7 \pi}{2}, - \frac{5 \pi}{2}$$
а) $\dfrac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}; \pm \dfrac{\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$
б) $-\dfrac{15\pi}{4}; -\dfrac{7\pi}{2}; -\dfrac{5\pi}{2}$