ID: 00004374
а) Решите уравнение $\cos 2x - 3 \sin (-x) - 2 = 0$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[3\pi; \dfrac{9\pi}{2}]$
Источник: ФИПИ
Пункт а. Приведение $\sin(-x)=-\sin x$ и $\cos 2x=1-2\sin^2 x$:
$$1-2\sin^2 x+3\sin x-2=0$$
Квадратное относительно $\sin x$:
$$2\sin^2 x-3\sin x+1=0,\quad (2\sin x-1)(\sin x-1)=0$$
Выпишем все серии корней:
$$\sin x=1\;\Rightarrow\;x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$
$$\sin x=\tfrac12\;\Rightarrow\;x=\frac{\pi}{6}+2\pi n,\ x=\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$
Пункт б. Отберём корни, принадлежащие отрезку $\left[3 \pi;\,\frac{9 \pi}{2}\right]$. Отметим на числовой окружности концы отрезка $\left[3 \pi;\,\frac{9 \pi}{2}\right]$, выделим соответствующую дугу и переберём в каждой серии целые значения параметра — оставим корни, попавшие на дугу.
Получаем корни, принадлежащие отрезку:
$$\frac{25 \pi}{6}, \frac{9 \pi}{2}$$
а) $x=\frac{\pi}{2}+2\pi n;\ x=\frac{\pi}{6}+2\pi n,\ x=\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$
б) $\frac{25 \pi}{6}, \frac{9 \pi}{2}$