Тригонометри… — Задание 14 ЕГЭ по математике №00004373

Пункт а. Приведём к основанию $7$: $49^{\sin x}=7^{2\sin x}$, а $\left(\tfrac17\right)^{-\sqrt2\sin 2x}=7^{\sqrt2\sin 2x}$:

$$2\sin x=\sqrt2\,\sin 2x=2\sqrt2\sin x\cos x$$

Перенесём и вынесем $2\sin x$:

$$2\sin x\,(1-\sqrt2\cos x)=0$$

Выпишем все серии корней:

$$\sin x=0\;\Rightarrow\;x=\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$

$$\cos x=\tfrac{\sqrt2}{2}\;\Rightarrow\;x=\pm\frac{\pi}{4}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$

Пункт б. Отберём корни, принадлежащие отрезку $\left[2 \pi;\,\frac{7 \pi}{2}\right]$. Отметим на числовой окружности концы отрезка $\left[2 \pi;\,\frac{7 \pi}{2}\right]$, выделим соответствующую дугу и переберём в каждой серии целые значения параметра — оставим корни, попавшие на дугу.

Получаем корни, принадлежащие отрезку:

$$2 \pi, \frac{9 \pi}{4}, 3 \pi$$