ID: 00004373
а) Решить уравнение $49^{\sin x} = \left(\dfrac{1}{7}\right)^{-\sqrt{2} \sin 2x}$
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[2\pi; \dfrac{7\pi}{2}]$
Источник: ФИПИ
Пункт а. Приведём к основанию $7$: $49^{\sin x}=7^{2\sin x}$, а $\left(\tfrac17\right)^{-\sqrt2\sin 2x}=7^{\sqrt2\sin 2x}$:
$$2\sin x=\sqrt2\,\sin 2x=2\sqrt2\sin x\cos x$$
Перенесём и вынесем $2\sin x$:
$$2\sin x\,(1-\sqrt2\cos x)=0$$
Выпишем все серии корней:
$$\sin x=0\;\Rightarrow\;x=\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$
$$\cos x=\tfrac{\sqrt2}{2}\;\Rightarrow\;x=\pm\frac{\pi}{4}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$
Пункт б. Отберём корни, принадлежащие отрезку $\left[2 \pi;\,\frac{7 \pi}{2}\right]$. Отметим на числовой окружности концы отрезка $\left[2 \pi;\,\frac{7 \pi}{2}\right]$, выделим соответствующую дугу и переберём в каждой серии целые значения параметра — оставим корни, попавшие на дугу.
Получаем корни, принадлежащие отрезку:
$$2 \pi, \frac{9 \pi}{4}, 3 \pi$$
а) $\pi n, n \in \mathbb{Z}; \pm \dfrac{\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$
б) $2\pi; \dfrac{9\pi}{4}; 3\pi$