Тригонометри… — Задание 14 ЕГЭ по математике №00004372

Пункт а. Замена $u=9^{\cos x}>0$ ($81^{\cos x}=u^2$):

$$9u^2-28u+3=0,\quad u_1=3,\ u_2=\tfrac19$$

Обратно: $9^{\cos x}=3\Rightarrow \cos x=\tfrac12$; $9^{\cos x}=\tfrac19\Rightarrow \cos x=-1$.

Выпишем все серии корней:

$$\cos x=\tfrac12\;\Rightarrow\;x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$

$$\cos x=-1\;\Rightarrow\;x=\pi+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$

Пункт б. Отберём корни, принадлежащие отрезку $\left[\frac{5 \pi}{2};\,4 \pi\right]$. Отметим на числовой окружности концы отрезка $\left[\frac{5 \pi}{2};\,4 \pi\right]$, выделим соответствующую дугу и переберём в каждой серии целые значения параметра — оставим корни, попавшие на дугу.

Получаем корни, принадлежащие отрезку:

$$3 \pi, \frac{11 \pi}{3}$$