ID: 00004372
а) Решить уравнение $9 \cdot 81^{\cos x} - 28 \cdot 9^{\cos x} + 3 = 0$
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[\dfrac{5\pi}{2}; 4\pi]$
Источник: ФИПИ
Пункт а. Замена $u=9^{\cos x}>0$ ($81^{\cos x}=u^2$):
$$9u^2-28u+3=0,\quad u_1=3,\ u_2=\tfrac19$$
Обратно: $9^{\cos x}=3\Rightarrow \cos x=\tfrac12$; $9^{\cos x}=\tfrac19\Rightarrow \cos x=-1$.
Выпишем все серии корней:
$$\cos x=\tfrac12\;\Rightarrow\;x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$
$$\cos x=-1\;\Rightarrow\;x=\pi+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$
Пункт б. Отберём корни, принадлежащие отрезку $\left[\frac{5 \pi}{2};\,4 \pi\right]$. Отметим на числовой окружности концы отрезка $\left[\frac{5 \pi}{2};\,4 \pi\right]$, выделим соответствующую дугу и переберём в каждой серии целые значения параметра — оставим корни, попавшие на дугу.
Получаем корни, принадлежащие отрезку:
$$3 \pi, \frac{11 \pi}{3}$$
а) $\pi + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}; \pm \dfrac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$
б) $3\pi; \dfrac{11\pi}{3}$