ID: 00004333
а) Решите уравнение $4^{x^2-1} - 24 \cdot 2^{x^2-3} + 8 = 0$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[-\dfrac{5}{3}, 2]$
Источник: ФИПИ
Пункт а. Замена $u=2^{x^2}>0$: $4^{x^2-1}=\tfrac{u^2}{4}$, $2^{x^2-3}=\tfrac{u}{8}$. Получаем:
$$u^2-12u+32=0,\quad u_1=4,\ u_2=8$$
Обратно: $2^{x^2}=4\Rightarrow x^2=2\Rightarrow x=\pm\sqrt2$; $2^{x^2}=8\Rightarrow x^2=3\Rightarrow x=\pm\sqrt3$.
Выпишем все серии корней:
$$x=\pm\sqrt2,\qquad x=\pm\sqrt3$$
Пункт б. Отберём корни, принадлежащие отрезку $\left[-\tfrac53;\,2\right]$. Для каждого корня проверим двойное неравенство $- \frac{5}{3}\le x\le 2$ и оставим попавшие на отрезок.
Получаем корни, принадлежащие отрезку:
$$- \sqrt{2}, \sqrt{2}, \sqrt{3}$$
а) $\pm \sqrt{3}, \pm \sqrt{2}$
б) $\sqrt{3}, \pm \sqrt{2}$