ID: 00004333
а) Решите уравнение 4^{x^2-1} - 24 \cdot 2^{x^2-3} + 8 = 0
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-\dfrac{5}{3}, 2]
Источник: ФИПИ
Пункт а. Замена u=2^{x^2}>0: 4^{x^2-1}=\tfrac{u^2}{4}, 2^{x^2-3}=\tfrac{u}{8}. Получаем:
u^2-12u+32=0,\quad u_1=4,\ u_2=8
Обратно: 2^{x^2}=4\Rightarrow x^2=2\Rightarrow x=\pm\sqrt2; 2^{x^2}=8\Rightarrow x^2=3\Rightarrow x=\pm\sqrt3.
Выпишем все серии корней:
x=\pm\sqrt2,\qquad x=\pm\sqrt3
Пункт б. Отберём корни, принадлежащие отрезку \left[-\tfrac53;\,2\right]. Для каждого корня проверим двойное неравенство - \frac{5}{3}\le x\le 2 и оставим попавшие на отрезок.
Получаем корни, принадлежащие отрезку:
- \sqrt{2}, \sqrt{2}, \sqrt{3}
а) \pm \sqrt{3}, \pm \sqrt{2}
б) \sqrt{3}, \pm \sqrt{2}