ID: 00004332
а) Решите уравнение $4^x - 2^{x+3} + 15 = 0$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $(2, \sqrt{10})$
Источник: ФИПИ
Пункт а. Замена $t=2^x>0$ ($4^x=t^2$, $2^{x+3}=8t$):
$$t^2-8t+15=0,\quad t_1=3,\ t_2=5$$
Обратно: $2^x=3\Rightarrow x=\log_2 3$; $2^x=5\Rightarrow x=\log_2 5$.
Выпишем все серии корней:
$$x_1=\log_2 3,\qquad x_2=\log_2 5$$
Пункт б. Отберём корни, принадлежащие отрезку $\left(2;\,\sqrt{10}\right)$. Для каждого корня проверим двойное неравенство $2\le x\le \sqrt{10}$ и оставим попавшие на отрезок.
Получаем корни, принадлежащие отрезку:
$$\frac{\log{\left(5 \right)}}{\log{\left(2 \right)}}$$
а) $\log_2 3, \log_2 5$
б) $\log_2 5$