Показательны… — Задание 14 ЕГЭ по математике №00004331

Пункт а. Приведём к основанию $3$: $27^x=3^{3x}$, $9^x=3^{2x}$, $3^{x+2}=9\cdot 3^x$. Сделаем замену $t=3^x$, $t\gt 0$:

$$t^3-5t^2-9t+45=0.$$

Группируем: $t^2(t-5)-9(t-5)=0$, то есть

$$(t-5)(t-3)(t+3)=0.$$

Корень $t=-3$ не подходит, так как $t\gt 0$. Остаются $t=5$ и $t=3$:

$$3^x=5\ \Rightarrow\ x=\log_3 5;\qquad 3^x=3\ \Rightarrow\ x=1.$$

Пункт б. Функция $y=3^x$ возрастает, поэтому условие $\log_3 4\le x\le \log_3 10$ равносильно $4\le 3^x\le 10$.

Для $x=\log_3 5$: $3^x=5$, и $4\le 5\le 10$ — корень подходит. Для $x=1$: $3^x=3\lt 4$ — корень не подходит.

Отрезку принадлежит только $\log_3 5$.