ID: 00004331
а) Решите уравнение $27^x - 5 \cdot 9^x - 3^{x+2} = 0$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[\log_3 4, \log_3 10]$.
Источник: ФИПИ
Пункт а. Приведём к $3^x$: $27^x=3^{3x}$, $9^x=3^{2x}$, $3^{x+2}=9\cdot 3^x$. Вынесем $3^x>0$:
$$3^x\bigl(3^{2x}-5\cdot 3^x-9\bigr)=0$$
Так как $3^x>0$, решаем $t^2-5t-9=0$ при $t=3^x$:
$$t=\frac{5+\sqrt{61}}{2}\ \ (\text{второй корень отрицателен})$$
Возвращаемся: $3^x=\dfrac{5+\sqrt{61}}{2}$.
Выпишем все серии корней:
$$x=\log_3\frac{5+\sqrt{61}}{2}\approx 1{,}69$$
Пункт б. Отберём корни, принадлежащие отрезку $\left[\log_3 4;\,\log_3 10\right]$. Для каждого корня проверим двойное неравенство $\frac{\log{\left(4 \right)}}{\log{\left(3 \right)}}\le x\le \frac{\log{\left(10 \right)}}{\log{\left(3 \right)}}$ и оставим попавшие на отрезок.
Получаем корни, принадлежащие отрезку:
$$\frac{\log{\left(\frac{5}{2} + \frac{\sqrt{61}}{2} \right)}}{\log{\left(3 \right)}}$$
а) $\log_3 5, 1$
б) $\log_3 5$