В основании правильной треугольной пирамиды ABCD лежит треугольник ABC со стороной, равной 5. Боковое ребро пирамиды равно 9. На ребре AD отмечена точка T так, что AT: TD равно 1: 2. Через точку параллельно прямым AC, BD проведена плоскость. а) Докажите, что сечение пирамиды указанной плоскостью является прямоугольником. б) Найдите площадь сечения.

Задание 15 ЕГЭ по математике №00003984

Задание №15. Стереометрическая задача

Сечения пирамид

№2. Задание 15

ID: 00003984

В основании правильной треугольной пирамиды $$ABCD$$ лежит треугольник $$ABC$$ со стороной, равной 5. Боковое ребро пирамиды равно 9. На ребре $$AD$$ отмечена точка $$T$$ так, что $$AT : TD = 1 : 2$$ . Через точку параллельно прямым $$AC, BD$$ проведена плоскость.

а) Докажите, что сечение пирамиды указанной плоскостью является прямоугольником.

б) Найдите площадь сечения.

Источник: ФИПИ

Решение

Пункт а (доказательство).

$$T$$ на $$AD$$ , плоскость $\parallel AC$ и $\parallel BD$ . Стороны сечения параллельны $$AC$$ и $$BD$$ , а $AC\perp BD$ в правильном тетраэдре-пирамиде — значит сечение прямоугольник. Что и требовалось.

Пункт б (вычисление).

При основании $$5$$ , боковом $$9$$ , $$AT:TD=1:2$$ стороны прямоугольника равны $AC\cdot\tfrac{TD}{AD}=\tfrac{10}{3}$ и $BD\cdot\tfrac{AT}{AD}=3$ , площадь $$=10$$ .

Ответ

$$10$$

Другие задания по теме «Сечения пирамид» (8)