ID: 00003984
В основании правильной треугольной пирамиды ABCD лежит треугольник ABC со стороной, равной 5. Боковое ребро пирамиды равно 9. На ребре AD отмечена точка T так, что AT : TD = 1 : 2. Через точку параллельно прямым AC, BD проведена плоскость.
а) Докажите, что сечение пирамиды указанной плоскостью является прямоугольником.
б) Найдите площадь сечения.
Источник: ФИПИ
Пункт а (доказательство).
T на AD, плоскость \parallel AC и \parallel BD. Стороны сечения параллельны AC и BD, а AC\perp BD в правильном тетраэдре-пирамиде — значит сечение прямоугольник. Что и требовалось.
Пункт б (вычисление).
При основании 5, боковом 9, AT:TD=1:2 стороны прямоугольника равны AC\cdot\tfrac{TD}{AD}=\tfrac{10}{3} и BD\cdot\tfrac{AT}{AD}=3, площадь =10.
Ответ: 10.
10