ID: 00003984
В основании правильной треугольной пирамиды $ABCD$ лежит треугольник $ABC$ со стороной, равной 5. Боковое ребро пирамиды равно 9. На ребре $AD$ отмечена точка $T$ так, что $AT : TD = 1 : 2$. Через точку параллельно прямым $AC, BD$ проведена плоскость.
а) Докажите, что сечение пирамиды указанной плоскостью является прямоугольником.
б) Найдите площадь сечения.
Источник: ФИПИ
Пункт а (доказательство).
$T$ на $AD$, плоскость $\parallel AC$ и $\parallel BD$. Стороны сечения параллельны $AC$ и $BD$, а $AC\perp BD$ в правильном тетраэдре-пирамиде — значит сечение прямоугольник. Что и требовалось.
Пункт б (вычисление).
При основании $5$, боковом $9$, $AT:TD=1:2$ стороны прямоугольника равны $AC\cdot\tfrac{TD}{AD}=\tfrac{10}{3}$ и $BD\cdot\tfrac{AT}{AD}=3$, площадь $=10$.
$10$