ID: 00003983
В пирамиде ABCD рёбра DA, DB, DC попарно перпендикулярны, а AB = BC = AC = 5\sqrt{2}.
а) Докажите, что эта пирамида правильная.
б) На рёбрах DA, DC отмечены точки M, N соответственно, причём DM : MA = DN : NC = 2 : 3. Найдите площадь сечения MNB.
Источник: ФИПИ
Пункт а (доказательство).
Обозначим DA=DB=DC=a. Рёбра DA,DB,DC попарно перпендикулярны, поэтому по теореме Пифагора AB^2=DA^2+DB^2=2a^2, и так же BC^2=AC^2=2a^2 — значит треугольник ABC равносторонний.
Из AB=5\sqrt2 получаем 2a^2=(5\sqrt2)^2=50, откуда a=5, то есть DA=DB=DC=5.
Боковые рёбра DA=DB=DC равны, а основание ABC — правильный (равносторонний) треугольник, поэтому вершина D проектируется в центр основания и пирамида ABCD — правильная. Что и требовалось доказать.
Пункт б (вычисление).
Введём координаты с началом в D и осями вдоль рёбер: D=(0;0;0), A=(5;0;0), C=(0;5;0), B=(0;0;5).
Точки M и N делят DA и DC в отношении 2:3 от D, то есть DM=DN=\dfrac{2}{5}\cdot5=2: M=(2;0;0), N=(0;2;0).
Площадь треугольника MNB: S=\tfrac12\left|\vec{MN}\times\vec{MB}\right|=3\sqrt6.
Ответ: 3\sqrt6.
б) 3\sqrt{6}