Задание 15 ЕГЭ по математике №00003983

Пункт а (доказательство).

Обозначим $DA=DB=DC=a$. Рёбра $DA,DB,DC$ попарно перпендикулярны, поэтому по теореме Пифагора $AB^2=DA^2+DB^2=2a^2$, и так же $BC^2=AC^2=2a^2$ — значит треугольник $ABC$ равносторонний.

Из $AB=5\sqrt2$ получаем $2a^2=(5\sqrt2)^2=50$, откуда $a=5$, то есть $DA=DB=DC=5$.

Боковые рёбра $DA=DB=DC$ равны, а основание $ABC$ — правильный (равносторонний) треугольник, поэтому вершина $D$ проектируется в центр основания и пирамида $ABCD$ — правильная. Что и требовалось доказать.

Пункт б (вычисление).

Введём координаты с началом в $D$ и осями вдоль рёбер: $D=(0;0;0)$, $A=(5;0;0)$, $C=(0;5;0)$, $B=(0;0;5)$.

Точки $M$ и $N$ делят $DA$ и $DC$ в отношении $2:3$ от $D$, то есть $DM=DN=\dfrac{2}{5}\cdot5=2$: $M=(2;0;0)$, $N=(0;2;0)$.

Площадь треугольника $MNB$: $S=\tfrac12\left|\vec{MN}\times\vec{MB}\right|=3\sqrt6$.