Логарифмичес… — Задание 16 ЕГЭ по математике №00003409

Логарифмическое неравенство второй степени — заменим $\log_2(25-x^{2})$ буквой. Знак здесь строгий, это важно для концов.

Область определения: $25-x^{2}\gt 0$, то есть $-5\lt x\lt 5$.

Пусть $u=\log_2(25-x^{2})$:

$$u^{2}-7u+12\gt 0,\qquad (u-3)(u-4)\gt 0,$$

откуда $u\lt 3$ или $u\gt 4$.

Случай $u\lt 3$: $0\lt 25-x^{2}\lt 8$, то есть $17\lt x^{2}\lt 25$. С учётом ОДЗ это $-5\lt x\lt -\sqrt{17}$ или $\sqrt{17}\lt x\lt 5$.

Случай $u\gt 4$: $25-x^{2}\gt 16$, то есть $x^{2}\lt 9$, что даёт $-3\lt x\lt 3$.

Объединяя три промежутка (все концы выколоты — неравенство строгое), получаем ответ.