Логарифмичес… — Задание 16 ЕГЭ по математике №00003407

Под логарифмами выражение $x+7$ и его квадрат. Приведём всё к основанию $2$ и вынесем общий множитель.

Так как $x^{2}+14x+49=(x+7)^{2}$, область определения: $x+7\gt 0$, то есть $x\gt -7$ (тогда $|x+7|=x+7$).

Перейдём к основанию $2$: $\log_{512}(x+7)=\dfrac19\log_2(x+7)$ (ведь $512=2^{9}$), а $\log_2\big((x+7)^{2}\big)=2\log_2(x+7)$. Умножив на $9$ и вынеся логарифм:

$$(x^{2}-18)\,\log_2(x+7)\leqslant 0.$$

Произведение не больше нуля — множители разных знаков или один равен нулю. Знаки: $\log_2(x+7)\gt 0$ при $x\gt -6$, ноль при $x=-6$, отрицателен при $-7\lt x\lt -6$. Скобка $x^{2}-18$ меняет знак в точках $\pm 3\sqrt2$.

Перебирая промежутки на $x\gt -7$, получаем: $(-7;-6]$ (логарифм $\leqslant 0$, скобка $\gt 0$) и $[-3\sqrt2;3\sqrt2]$ (скобка $\leqslant 0$, логарифм $\geqslant 0$).