Решите неравенство x в квадрате log по основанию 512 левая круглая скобка x плюс 7 правая круглая скобка меньше или равно log по основанию 2 левая круглая скобка x в квадрате плюс 14x плюс 49 правая круглая скобка

x принадлежит левая круглая скобка минус 7; минус 6 правая квадратная скобка объединение левая квадратная скобка минус 3 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента ; 3 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента правая квадратная скобка

Задание 15 ЕГЭ по математике: Решите неравенство x в квадрате log по основанию 512 левая…

№2. Задание 15

ID: 00003407

Решите неравенство $x^2 \log_{512}(x+7) \le \log_2(x^2+14x+49)$

Источник: ФИПИ

Решение

Под логарифмами выражение $x+7$ и его квадрат. Приведём всё к основанию $2$ и вынесем общий множитель.

Так как $x^{2}+14x+49=(x+7)^{2}$ , область определения: $x+7\gt 0$ , то есть $x\gt -7$ (тогда $|x+7|=x+7$ ).

Перейдём к основанию $2$ : $\log_{512}(x+7)=\dfrac19\log_2(x+7)$ (ведь $512=2^{9}$ ), а $\log_2\big((x+7)^{2}\big)=2\log_2(x+7)$ . Умножив на $9$ и вынеся логарифм:

$(x^{2}-18)\,\log_2(x+7)\leqslant 0.$

Произведение не больше нуля — множители разных знаков или один равен нулю. Знаки: $\log_2(x+7)\gt 0$ при $x\gt -6$ , ноль при $x=-6$ , отрицателен при $-7\lt x\lt -6$ . Скобка $x^{2}-18$ меняет знак в точках $\pm 3\sqrt2$ .

Перебирая промежутки на $x\gt -7$ , получаем: $(-7;-6]$ (логарифм $\leqslant 0$ , скобка $\gt 0$ ) и $[-3\sqrt2;3\sqrt2]$ (скобка $\leqslant 0$ , логарифм $\geqslant 0$ ).

Ответ

$x \in (-7; -6] \cup [-3\sqrt{2}; 3\sqrt{2}]$