Неравенства… — Задание 15 ЕГЭ по математике №00003397

В правой части стоит дробь $\dfrac{1}{\log_x(x+1)}$. Тут помогает красивая формула: единица, делённая на логарифм, — это логарифм с перевёрнутым основанием. То есть $\dfrac{1}{\log_x(x+1)}=\log_{x+1}x$. После этого слева и справа окажутся логарифмы с одинаковым основанием $x+1$.

Область определения. Для $\log_{x+1}2$ нужно $x+1\gt 0$ и $x+1\ne 1$. Для $\log_x(x+1)$ нужно $x\gt 0$, $x\ne 1$. Вместе: $x\gt 0$, $x\ne 1$.

Перепишем неравенство с учётом формулы:

$$\log_{x+1}2\geqslant \log_{x+1}x.$$

При $x\gt 0$ основание $x+1\gt 1$, поэтому «больше аргумент — больше логарифм», и сравниваем прямо аргументы (с тем же знаком):

$$2\geqslant x.$$

Соединяем $x\leqslant 2$ с областью определения $x\gt 0$, $x\ne 1$ и получаем $(0;1)\cup(1;2]$ — точку $x=1$ пришлось выколоть.