В правой части стоит дробь \dfrac{1}{\log_x(x+1)}. Тут помогает красивая формула: единица, делённая на логарифм, — это логарифм с перевёрнутым основанием. То есть \dfrac{1}{\log_x(x+1)}=\log_{x+1}x. После этого слева и справа окажутся логарифмы с одинаковым основанием x+1.

Область определения. Для \log_{x+1}2 нужно x+1\gt 0 и x+1\ne 1. Для \log_x(x+1) нужно x\gt 0, x\ne 1. Вместе: x\gt 0, x\ne 1.

Перепишем неравенство с учётом формулы:

\log_{x+1}2\geqslant \log_{x+1}x.

При x\gt 0 основание x+1\gt 1, поэтому «больше аргумент — больше логарифм», и сравниваем прямо аргументы (с тем же знаком):

2\geqslant x.

Соединяем x\leqslant 2 с областью определения x\gt 0, x\ne 1 и получаем (0;1)\cup(1;2] — точку x=1 пришлось выколоть.